Инженерные расчёты механических конструкций ч.2

Узловые точки присоединения упругого элемента будут 1 и 2. Так как узел 1 имеет жесткую связь со стенкой, то его нужно закрепить по всем шести степеням свободы, а узел 2 должен иметь одну степень свободы по x , все остальные степени 2, 3, 4, 5, 6 должны быть закреплены. В том случае, когда упругий элемент подсоединяется к каким-либо элементам, то степени свободы этого элемента определяются автоматически степенями свободы прикрепляемых элементов. Нужно отметить, что элемент Spring не имеет физического размера, поэтому его и называют элементом с нулевым измерением.

4.2. Line Elements – линейные элементы

Эти элементы имеют одно измерение и используются для моделирования стержней (прутков) и балок.

ROD-элемент моделирует сжатие-растяжение и закручивание, но не имеет изгиба. Beam-элемент кроме этого позволяет получать изгиб.

В MSC.Nastran делается различие между «простой» балкой и «сложной» балкой. Простая балка моделируется CBAR-элементом и требует задания свойств, не связанных с поперечным сечением. СBAR-элемент также требует, чтобы центр сдвига и нейтральная ось совпадали и, следовательно, не может использоваться для моделирования балок, у которых искажается поперечное сечение (открытый профиль).

Сложная (Complex) балка моделируется элементом CBEAM, который имеет все CBAR-свойства и дополняется другими. CBEAM допускает искажение поперечного сечения, позволяет изменять свойства поперечного сечения по длине балки, нейтральная ось и центр сдвига не совпадают.

ROD-элемент – стержневой элемент (CONROD). CONROD-элемент соединяет два узла и передает осевую силу и осе-

вое вращение. Параметры задаются только для двух степеней свободы для каждого узла. Все свойства задаются прямо при вводе элемента. Отдельной строки для ввода свойств элемента не требуется. Этот элемент удобен, когда требуется задать несколько ROD-элементов, имеющих разные свойства. Этот элемент располагается вдоль оси x элементной системы координат. Момент прикладывается вокруг оси x по правилу правой руки. Осевая сила положительна, если элемент растягивается.

Задаются следующие параметры:

–EID – идентификационный номер элемента,

–G1, G2 – номера узловых точек,

–MID – идентификационный номер материала,

–A – площадь сечения,

–I – полярный момент инерции,

–21 –

GA GB

Рис. 8. Степени свободы для CBAR-элемента

Ограничения и характеристика этого элемента:

–описание отличается от классической теории балок (плоские сечения остаются плоскими);

–сечения могут быть призматическими и прямыми (свойства не могут изменяться по длине);

–центр сдвига и нейтральная ось должны совпадать (CBAR-элемент не может моделировать искажения открытых профилей);

–увеличение торсионной жёсткости из-за искажения поперечного сечения не учитывается;

–может не учитываться поперечный эффект сдвига (важен для коротких балок);

–главные оси инерции не обязательно совпадают с элементными осями;

–нейтральные оси могут быть смещены от узловых точек (внутренняя жёсткая связь создаётся). Это используется для моделирования жёстких плат или рабочих узлов;

–реализуется освобождение узлов от силы или момента на концах элемента (это позволяет моделировать связи или механизмы).

Для этого элемента задаются аналогичные параметры, что и для CROD и в дополнение задаются компоненты вектора X1 , X 2 , X 3 ориен-

тации от GA в смещаемой координатной системе. Имеется альтернативный метод задания вектора ориентации, используя узловую точку GO. Направление вектора – от GA к GO.(GO ≠ GA или GB).

Флаги закрепления концов РА или РВ используются, чтобы убрать соединение между узловой точкой и выбранными степенями свободы балки.

Степени свободы определяются в координатной системе элемента. Балка должна иметь закрепление, ассоциированное с РА или РВ степенями свободы для того, чтобы реализовать флаги закреплений.

– 23 –

F

F GB

GB

Рис. 9. Возможные ориентации балки

Например, если РА=4, степень свободы по четвертой координате (вращение вокруг оси x ), то балка должна иметь величину I и торсионную жёсткость.

Физически балки идентичны (рис. 9), но по сопротивлению силе F различны, поэтому правильная ориентация балки имеет принципиальное значение.

Система координат для элемента CBAR.

В этой координатной системе определяется момент инерции сечения балки.

Выбор координатной системы.

Шаг 1. Ось x в элементной координатной системе автоматически определяет направление от GA к GB. Начало оси в GA (рис. 10).

Шаг 2. Выбираем направление вектора ориентации Vr . Вектор начинается в GA и содержит точку ( x1 , x2 , x3 ). Координаты x1 , x2 , x3 опре-

деляют в перемещаемой координатной системе от GA и вводятся в поля 6, 7,r8 строки входного файла, которая задаёт CBAR-элемент. Направление

V в отношении поперечного сечения произвольно, но Vr совмещается с

одной из главных плоскостей инерции. Выбор (1.0, 1.0, 0.0) даёт вектор Vr , изображённый на рис. 11.

Шаг 3. Плоскость, формирующая ось x элемента и вектор Vr , называется плоскостью 1 (рис. 12).

– 24 –

zelem

Рис. 14. Положение точек поперечного сечения,

вкоторых определяют напряжения

4.3.Surface Elements – элементы поверхностей

Элементы поверхностей имеют два измерения и используются для представления конструкций, имеющих малую толщину по сравнению с другими размерами (см. рис. 15, на котором указаны соотношения между размерами). Элементы поверхностей моделируют плоские пластины или оболочки (shell), которые имеют существенную кривизну (подобно цилиндру) или двойную (подобно сфере). Для узлов, соединяющих пластины, жесткости будут существовать для пяти из шести возможных степеней свободы. Вращательная степень свободы относительно нормали к пластине «не связана». Эта степень должна быть закреплена, чтобы предотвратить сингулярность матрицы жесткости.

Для линейных задач в MSC.Nastran для элементов поверхностей приняты следующие допущения:

–тонкая пластина имеет толщину во много раз меньшую, чем другие размеры пластины;

–прогиб пластины в середине мал по сравнению с ее толщиной;

–срединный (нейтральный) слой остается ненапряженным при изгибе, это относится к горизонтальным нагрузкам, но не к нагрузкам вне срединной плоскости;

–нормаль к срединному слою остается нормальной при изгибе пластины.

–28 –

Этот элемент наиболее общий элемент для моделирования пластин, оболочек и мембран. CQUAD4 позволяет моделировать плоское напряженное состояние, изгиб, поперечный сдвиг в зависимости от данных, задаваемых в свойствах пластины (PSHELL-свойства).

Этот элемент соединяется с другими элементами в четырех узлах. Номера узлов от G1 до G4 расположены последовательно по пери-

метру элемента. Параметры MCID и THETA (ориентация свойств материала элемента) не задаются для гомогенных и изотропных материалов.

Параметров ZOFFS (смещение от поверхности узлов до поверхности расположения системы координат) используется, когда элемент имеет смещение. От T1 до Т4 – толщины элемента в угловых точках, если их не задавать, то толщина элемента T постоянна.

Все внутренние углы элемента должны быть меньше 180°.

Силы и напряжения определяются в координатной системе элемента. Координатная система располагается следующим образом:

–ось x элемента проходит посередине угла 2α, положительное направление от G1 к G2;

–ось y элемента перпендикулярна к оси x и располагается в плоскости G1, G2, G3, G4, положительное направление от G1 к G4;

Рис. 16. CQUAD4-элемент и координатная система элемента

– 30 –

τxy

–ось z элемента нормальна к x − y плоскости элемента. Положительное направление z определяется по правилу правой руки, рас-

полагая ее в порядке следования от G1 к G4.

Силы и моменты в CQUAD4

В элементе возникает следующий набор силовых факторов (рис. 17): Fx , Fy – мембранные силы, приходящиеся на единицу длины;

Fxy – мембранная сила сдвига на единицу длины; M x , M y – изгибающие моменты на единицу длины;

– 31 –

M xy – крутящий момент на единицу длины; Vx , Vy – поперечные силы на единицу длины.

Силы и моменты рассчитываются относительно цента масс элемента. Напряжения определяются на расстоянии z1 и z2 то плоскости расположения системы координат ( z1 и z2 задаются в свойствах элемента и указываются как поверхности, отстоящие от средней плоскости, т.е. z1 и

z2 = ± толщина пластины ).

2

Triangular Plate Element (CTRIA3)

Этот элемент соединят три узловые точки. Элемент используется для согласования сеток элементов и заполнения нерегулярных границ. Применение этого элемента должно быть ограничено. Во многих аспектах этот элемент аналогичен CQUAD4.

Свойства оболочечных элементов PSHELL

Параметры, вводимые группой свойств PSHELL для элементов, определяют мембранные, изгибные свойства и поперечный сдвиг, т.е. совокупность свойств тонкой пластины и оболочечного элемента.

– MID1 – число, определяющее материал для мембраны (>0 или «пробел»);

– T – величина мембранной жесткости;

– MID2 – число, определяющее свойства материала при изгибе (≥–1 или «пробел»);

–MID3 – число, определяющее свойства материала при поперечном сдвиге (>0.0, по умолчанию =.833333);

–TS – поперечная сдвиговая жесткость, деленная на мембранную

T

жесткость (>0.0 или «пробел»);

–NSM – масса на единицу площади;

–z1 и z2 – расстояния для расчета напряжений. Положительное направление определяется по правилу правой руки. По умолчанию

±2t ;

–MID4 – число, определяющее мембранно-изгибную связь (>0 или «пробел»). Должен быть пробел пока не будет MID1>0, MID2>0,

может MID4≠MID1 или MID2;

–32 –

–MID1, MID2 и MID3 – номера, определяющие свойства материала, которые создаются при задании свойств материала и отображаются в строке MAT1 исполняемого файла.

Для твердых гомогенных плит по умолчанию величины ( 12T 3I =1,0 и

TST =0,8333) корректны.

CQUAD4 может моделировать плоское напряженное состояние, изгиб, поперечный сдвиг. Поведение элемента регулируется наличием или отсутствием идентификационного числа материала (ID) в соответствующем поле в строке PSHELL исполняемого файла.

Для модели мембраны (без изгиба) заполняется только поле MID1 – номер материала, например:

1 204 .025

Для модели изгиба заполняется только поле MID2, например:

Для учёта поперечного сдвига для изгиба заполняются поля MID2 и MID3, например:

1 .025 204 204

Использование MID3 добавляет сдвиг в жесткость элемента, т.е. пластина при этом будет прогибаться больше, чем элемент без MID3. Для очень тонкой пластины этот сдвиг добавляет очень малую величину прогиба. Для толстых пластин вклад поперечного сдвига в прогиб становится более значимым, т.е. также как с короткими, глубоколежащими балками.

Для твердых тел, гомогенных, тонких, жестких плит используются

MID1, MID2 и MID3 вместе.

Для выбора модели, описывающей свойства пластинчатого элемента, можно воспользоваться схемой рис. 15.

4.4. Solid Elements – твердотельные элементы

Твердотельные элементы являются трехмерными элементами и позволяют моделировать поведение толстых пластин и тел. Основные твердотельные элементы это шестисторонний CHEXA, пятисторонний

– 33 –

CPENTA и четырехсторонний CTETRA. Твердотельные элементы соединяются только по перемещениям, по вращательным степеням свободы эти элементы не соединяются.

CHEXA – шестисторонний твердотельный элемент. Этот элемент рекомендуется применять для общего использования. Точность элемента уменьшается, когда элемент имеет сдвиг и используется в случае, когда изгибные деформации преобладают. В большинстве других ситуациях использование этого элемента превосходит все другие 3D элементы.

В CHEXA соединяются восемь узловых точек или до двенадцати узловых точек, если включить средние точки на ребрах.

Напряжения элемента вычисляются в центре и также экстраполируются на угловые узлы.

Геометрия элемента показана на рис. 18.

Узловые точки от G1 до G4, соединенные последовательно, образуют четырехугольную плоскость. Узлы от G9 до G20 являются необязательными. Любой из них может быть удален. Угловые узлы не могут быть удалены.

Компоненты напряжений σx , σy , σz , σxy , σyz , σzx выводятся в координатной системе, заданной для материала. Эта система определяется PSOLID-свойствами.

G18

G7

G6

G19

G1

Рис. 18. Расположение узлов в CHEXA элементе

– 34 –

G4

G5

G2

Рис. 20. Четырехсторонний CTETRA элемент

Свойства твердотельного элемента PSOLID

Свойства определяются идентификационным номером (PID) в поле строки PSOLID исполняемого файла. В поле MID – идентификационный номер материала описывает свойства материала, которые вводятся отдель-

но через MAT1, MAT4, MAT5, MAT9 и MAT10.

R

G3

G1

T

G2

Рис. 21. Координатная система для CTETRA-элемента

– 36 –

Рис. 22. Классификация прямоугольных пластин

CORDM – определяет координатную систему материальных свойств, которая может быть базовой (0) или элементной (–1 или «пробел»). ISOP задаёт схему интегрирования (можно принимать по умолчанию), которая задаётся разными значениями строковой переменной в поле 7 строки PSOLID в тексте входного файла.

FTCN в поле 7 используется для моделирования жидкости.

FTCN = «PFLUID» обозначает жидкость, по умолчанию вводится значение «SMECH» – структурный элемент.

На рис. 22 приведена классификация прямоугольных пластин и показаны критерии выбора элементов для моделирования конструкций, использующих твёрдотельные и пластинчатые элементы.

4.5.Элемент типа BUSH

Впоследних версиях системы MSC.Patran-Nastran введены новые элементы. Одним из них является элемент типа BUSH

Это элемент, который сочетает в себе свойства пружины и демпфера.

ВMSC.Patran осуществление этого метода включает:

–поддержку CBUSH элемента и соответствующих ему свойств PBUSH/BBUSH, включая соответствующие жёсткостные свойства, зависящие от частоты возмущения, задаваемые таблицей (TABLED 1);

–поддерживается скалярный (1D элемент) и заземлённый (OD) элементы;

–свойства могут быть постоянными или частотно-зависимыми;

–37 –

–для жёсткости поддерживается зависимость силы от пробега, определяемая через non-spatial (непространственное) поле в панели свойств элементов;

–поддерживается импорт и экспорт этих элементов и их свойств в другие CAD системы.

Импорт в настоящее время ограничен скалярными свойствами:

PBUSH, CBUSH.

«Заземленный» BUSH элемент

Создать модель МКЭ, завершив разбиение на элементы, задав материалы, свойства, нагрузки, закрепления и LOAD CASES. Создать 1D beam элементы для скалярного BUSH элемента и OD точечный элемент для определения заземления.

Открыть окно свойств элементов (Element Properties). Установить Object-OD и тип – Grounded Bush («заземлённый»

BUSH).

Задать установку имени свойства, называя Grounded-bush. Выбрать OD точечный элемент, чтобы создать Application Region. Написать Input Properties кнопку. Появится форма таблицы. Ука-

зать номер системы координат, в которой будут задаваться величины жесткости и демпфирования. Затем необходимо ввести величины жесткостей (Spring Constant i) в окно для жесткостей и в окно для коэффициентов демпфирования (Damping Coefficient). Также можно ввести структурное демпфирование и какую-либо величину [Stress Recovery]. Нельзя вводить частотно-зависимую информацию для характеристики «сила/перемещение» в это время. Для этого требуется специальная таблица.

Написать Apply, чтобы создать заземлённый упруго диссипативный (BUSH) элемент.

Скалярный BUSH элемент

Чтобы создать этот элемент, необходимо выполнить следующие шаги. Этот элемент будет иметь частотно-зависимые параметры свойств. Для этого нужно ввести Fields application, чтобы задать таблицы изменяемых свойств.

Это осуществляется выбором кнопки

Fields

Object Î non Spatial

Method Î Tabular Input (ввести данные)

Выбрать Frequency (f) в качестве независимой переменной. Задать в поле Field Names имя.

Использовать Input Data форму, вводя ряд значений частот и соответствующих им коэффициентов жесткости и демпфирования.

– 38 –

Создайте столько полей, сколько необходимо. Одно поле Displacement будет представлять поведение элемента по характеристике «силапрогиб».

Когда созданы поля характеристик, необходимо установить в Element Properties.

Object Î 1D

Type Î Scalar Bush

Необходимо ввести имя и выбрать beams (application region также как поступали с grounded bush).

Свойства вводятся также как делали с grounded bush, исключая ка- кие-либо поля ввода для частотно-зависимых свойств, выбирая установ-

ленное поле из List Definition Listbox.

Нажать Apply, чтобы создать свойства элемента.

Войти в Analysis application и сохранить свойства элемента. Кроме CBUSH характеристик, могут быть установлены PBUSH и

PBUSHT и ещё TABLED 1, которые определяют частотные свойства. Заземлённый элемент имеет одну PBUSH, т.к. нет частотно-

зависимых свойств, которые были введены.

Скалярный элемент имеет ссылки на PBUSH и PBUSHT. Таблица ссылается на PBUSHT, замещая какие-либо величины на PBUSH, введённые ранее за исключением тех, которые вводились позже.

PBUSHT свойства будут игнорированы для ряда решений других, чем частотный отклик (SOL III), или нелинейный анализ и в тех решениях, где «nominal» (PBUSH) свойства используются для анализа.

Рассмотрим пример в котором применяется BUSH-элемент, соединённый с землёй и в котором также показывается как моно выполнить ко- нечно-элементную модель не создавая полностью твёрдотельную геометрическую модель.

Пример.

Панель располагается на четырёх упругих опорах (рис. 23) с коэффициентами жёсткости Kx = 5 1010 Н/м, Ky = 5 104 Н/м. Выполнить рас-

чёт собственных частот колебаний панели и определить форму колебаний, при которой проявляется влияние упругих опор.

Создание геометрической модели одной поверхности панели. Выбрать кнопку

Geometry ActionÎCreate ObjectÎPoint, MethodÎXYZ.

Создаём 4 точки с координатами [0 0 0], [400 0 0], [400 20 0], [0 20 0].

– 39 –

400

2000

20

y

z

Рис. 23. Панель на четырёх упругих опорах

Geometry ActionÎCreate ObjectÎCurve MethodÎPoint OptionÎ2 Point

Создаём одну линию между точками 1 и 2, и вторую между точками 3

и 4

Geometry ActionÎCreate ObjectÎSurface MethodÎCurve

Создаём поверхность, выбрав curve 1 и curve 2.

Создание конечно-элементной модели балки начинается с нанесения на созданную поверхность конечно-элементной сетки. Это делается в разделе главного меню

Elements ActionÎCreate

ObjectÎ Mesh Seed TypeÎ Uniform

Number=4

Curve List:

Указываем одну из коротких сторон прямоугольника.

– 40 –