Shevchenko / 2sem / LR7_MatlabZapiska

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра МВЭ

Отчет

По лабораторной работе №7

по дисциплине «Алгоритмы и вычислительные средства»

Тема:Алгоритм вычисления определителя матрицы (метод Гаусса).

Студент гр. 3206		Корепанов Д. М.
Руководитель		Шевченко С. А.

Санкт-Петербург

2024

1. Цель

Изучение и программирование быстрого алгоритма вычисления определителя матрицы.

2. Постановка задачи

Задана матрица исходных данных S(5) и алгоритм вычисления определителя матрицы методом Гаусса.

3. Алгоритм выполнения работы

1. Реализовать в Программе 1 в Matlab алгоритм вычисления определителя матрицы методом Гаусса и рассчитать определитель для матрицы S(5). Вставить комментарии к операторам Программы 1. В отчет включить Программу 1, копию преобразованной матрицы S(5) и значение определителя из «Командного окна» (Command Window).

2. Проверить вычисление определителя исходной матрицы S(5) библиотечной функцией Matlab det(S). В отчет включить программный код Контрольной программы с обращением к det(S) и значение определителя из «Командного окна».

3. Модифицировать Программу 1, добавив в нее формирование исходной матрицы S(N). Для этого использовать функцию rand: S= rand (N). Задать начальное значение N=1000.

4. Определить зависимость времени вычисления определителя (наибольшее из 3 прогонов программы) по Программе 1 для матриц S(1000), S(1600), S(2000).

5. Составить Таблицу 1 из трех строк (i=1-3), включив шесть столбиков: номер матрицы, ее размерность, три отсчета времени вычисления определителя и максимальное значение времени.

6. Составить Таблицу 2 из трех строк и трех столбиков. В первом столбике разместить комбинации (i-j: 1-2, 1-3, 2-3). Рассчитать коэффициенты: K_N=N_j/N_i, K_t=t_j/t_i и K³=(Nj/Ni)³. Разместить полученные значения во втором, третьем и четвертом столбиках.

7. Определить зависимость времени вычисления определителя (наибольшее из 3 прогонов программы) библиотечной функцией Matlab det(S) для матриц, S(1600), S(2000), S(4000).

8. Составить Таблицу 3 из трех строк (i=1-3), включив шесть столбиков: номер матрицы, ее размерность, три отсчета времени вычисления определителя и максимальное значение времени.

9. Составить Таблицу 4 из трех строк и трех столбиков. В первом столбике разместить комбинации (i-j: 1-2, 1-3, 2-3). Рассчитать коэффициенты: K_N=N_j/N_i, K_t=t_j/t_i и K³=(N_j/N_i)³. Разместить полученные значения во втором, третьем и четвертом столбиках.

10. Оформить отчет, включив в него основную и модифицированную Программу 1, Контрольную программу и Таблицы 1-4. В выводы включить закономерность изменения времени вычисления определителя от размерности матрицы (K_t ~ K³) для модифицированных Программы 1 и Контрольной программы

4. Основная часть

Рисунок 1 – Блок-схема алгоритма

1. Задание функции определителя матрицы методом Гаусса

function [DET] = det_Gauss(A,N)

for K=1:(N-1)

for I=(K+1):N

for J=K:N

if J==K

aik=A(I,K);

else

A(I,J)=A(I,J)-(aik/A(K,K)*A(K,J));

end

end

end

end

DET=1;

for i=1:N

DET=DET*A(i,i);

end

End

2. Вычисление определителя матрицы 5х5

   1. Код программы 1

clc

clear

n=5;

a=[1 2 3 4 5; 10 9 8 7 6; 5 9 11 12 13; 20 1 3 17 14; 12 10 4 16 15];

tic

da=det_Gauss(a, n)

toc

2. Листинг результатов

Рисунок 2 – Скриншот окна программы с преобразованной матрицей и вычисленным определителем

3. Код программы обращения к библиотечной библиотечной функции

clc

clear

n=5;

a=[1 2 3 4 5; 10 9 8 7 6; 5 9 11 12 13; 20 1 3 17 14; 12 10 4 16 15];

tic

da=det(a)

Toc

4. Листинг результатов

Рисунок 3 – Скриншот окна программы с вычисленным определителем

3. Вычисление определителя больших матриц

   1. Код программы 1

clc

clear

n=1000;

a=rand(n);

tic

da=det_Gauss(a, n)

toc

2. Код программы обращения к библиотечной функции

clc

clear

n=4000;

a=rand(n);

tic

da=det(a)

toc

3. Листинг результатов

Таблица 1 – Листинг алгоритма Гаусса программы 1

i	N	t1,сек	t2,сек	t3,сек	tmax,сек
1	1000	5045	5174	5101	5174
2	1600	20522	21409	21385	21409
3	2000	44067	42001	45166	45166

Таблица 2 – Коэффициенты программы 1

i-j	KN	Kt	K3
1-2	1.60	4.14	4.096
1-3	2.00	8.73	8.000
2-3	1.25	2.11	1.950

Таблица 3 – Листинг алгоритма библиотечной программы

i	N	t1,сек	t2,сек	t3,сек	tmax,сек
1	1600	0.0730181	0.072726	0.076617	0.076617
2	2000	0.121794	0.122374	0.124671	0.124671
3	4000	0.696661	0.725739	0.692577	0.725739

Таблица 4 – Коэффициенты библиотечной программы

i-j	KN	Kt	K3
1-2	1.25	1.6	1.95
1-3	2.50	9.5	15.63
2-3	2.00	5.8	8.00

4. Вывод

В ходе выполненной работы был изучен алгоритм вычисление определителя матрицы методом Гаусса. Проведен алгоритм для больших матрицы, составлен листинг вычисления определителя и рассмотрена зависимость времени сортировки от размера матрицы.

Проведен алгоритм с использованием библиотечной функции det(S), составлен листинг вычисления определителя с использованием библиотечной функции и рассмотрена зависимость время вычисления определителя матрицы от её размера..

Зависимость времени вычисления определителя алгоритма Гаусса: при увеличении порядка матрицы в N раз, время вычисления определителя увеличивается примерно в N³ раз

Алгебраической зависимости времени времени вычисления определителя от порядка матрицы не обнаружено.