Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021

сходится, поэтому исходный функциональный ряд

1 1n3 x

n 1

сходится как на X1 , так и на X2 .

а) Покажем, что на множестве X1 (0,1] ряд сходится неравно-

мерно. Рассмотрим последовательность членов исходного функционального ряда

X

Отсюда следует, что un (x) 0. Так как нарушается необходимый

признак равномерной сходимости ряда (теорема 5.6), то исходный ряд сходится на множестве X1 неравномерно (см. следствие 5.1).

б) Запишем

На множестве X2 сходящийся числовой ряд

cn n13/ 2 n 1 n 1

81

является мажорантным для исходного ряда

Поэтому, согласно признаку Вейерштрасса, исходный функциональнй ряд сходится равномерно на множестве X2 .

Задача 5.11. Исследовать на равномерную сходимость фукциональный ряд

сходится равномерно на X, так как является сходящимся числовым рядом. Последовательность an (x) , во-первых, ограничена, так как x [1, ) и n

Поэтому, согласно признаку Абеля, исходный ряд сходится равномерно на множестве X. Выясним дополнительно характер сходимости (абсолютная или условная) исходного функционального ряда.

Для любого x 1 ряд

расходится, так как

82

Таким образом, исходный ряд сходится условно на заданном множестве X.

Задача 5.12. Исследовать на равномерную сходимость функци-

б) X2 [0, 2 ].

Решение. Заметим, что заданный функциональный ряд сходится

монотонно убывает и

X1

an (x) 0 при n .

Поэтому по признаку Дирихле исходный ряд сходится равномерно на множестве X1.

83

б) В этом случае последовательность частичных сумм

n

sin kx

k 1

не является ограниченной на заданном множестве, так как при

Поэтому признак Дирихле по схеме предыдущего пункта этой задачи неприменим на множестве X2 . Воспользуемся критерием

Поскольку условие из критерия Коши нарушается, то исходный функциональный ряд сходится неравномерно на множестве X2 .

84

5.3.Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Теорема 5.9 (о непрерывности предела функциональной по-

следовательности). Если функции fn (x), n , непрерывны на множестве X и

X

fn (x) f (x),

то функция f (x) непрерывна на X.

Теорема 5.10 (о непрерывности суммы функционального ря-

да). Если функции un (x), n , непрерывны на множестве X и ряд

un (x)

n 1

сходится равномерно на X, то его сумма

S (x) un (x)

n 1

непрерывна на X.

Теорема 5.11 (о перестановке пределов в функциональной последовательности). Если функциональная последовательность

fn (x), n , равномерно сходится в окрестности точки x0 , иn существует

lim fn (x) An ,

x x0

Теорема 5.12 (о почленном переходе к пределу в функцио-

нальном ряде). Если функциональный ряд

un (x)

n 1

сходится равномерно в некоторой окрестности точки x0 и если существует

85

Теорема 5.13 (о почленном интегрировании функциональной последовательности). Если функции fn (x), n , непрерыв-

ны на [a, b] и

Теорема 5.14 (о почленном интегрировании функционально-

Теорема 5.15 (о почленном дифференцировании функциональной последовательности). Если функции fn (x), n ,

непрерывно дифференцируемы на [a, b] , функциональная последовательность fn (x) сходится хотя бы в одной точке отрезка [a, b] , а последовательность производных fn (x) сходится равномерно

86

Теорема 5.16 (о почленном дифференцировании функцио-

нального ряда). Если функции un ( x), n , имеют непрерывные производные на отрезке [a, b] , и выполняются условия:

1) существует хотя бы одна точка x0 [a, b], такая, что ряд

un ( x0 )

n 1

сходится; 2) ряд

un (x)

n 1

сходится равномерно на [a, b] . Тогда ряд

un (x)

n 1

сходится равномерно на [a, b] к дифференциремой на [a, b] функции

Задача 5.13. Исследовать функциональную последовательность

на равномерную сходимость на множестве X [0, ).

Решение. Функции

87

непрерывны на X. Найдем предельную функцию

Так как функция f (x) разрывна на X, то согласно теореме 5.9 последовательность fn (x) сходится неравномерно на множестве X.

Задача 5.14. Определить область существования функции

2

f(x) n 1 n2 ln2 nx

иисследовать ее на непрерывность, X (0, ). Решение. Члены функционального рядаarctg n x

сходится, то, согласно признаку Вейерштрасса, функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве X. Согласно теореме 5.10 сумма исходного ряда

f (x) un (x)

n 1

определена и непрерывна на X (0, ).

88

Задача 5.15. Вычислить

Решение. Согласно признаку Вейерштрасса данный ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве X ввиду оценки

Кроме того,

Решение. Согласно признаку Абеля данный функциональный ряд сходится равномерно на множестве X, что несложно проверить, полагая

(см. задачу 3.7).

89

Задача 5.17. Возможно ли почленное интегрирование функционального ряда

т.е. члены функционального ряда мажорируются соответствующими членами сходящегося числового ряда

но теореме 5.14 исходный функциональный ряд можно почленно

Задача 5.18. Возможно ли почленное дифференцирование функционального ряда

на множестве .

Решение. Члены исходного функционального ряда определены и непрерывны на множестве X .

90