Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021

x

un (x) (x 3) tg

n

n 1

n 1

2

un (x) (x 3)n tg

x

,

un 1(x) (x 3)n 1 tg

x

,

2n 1

2n

un 1 (x)

(x 3)n 1 tg

x

tg

x

2n 1

(x 3)

2n 1

,

un (x)

(x 3)

n

x

x

откуда

tg

2n

tg 2n

un 1 (x)

tg

x

x

lim

lim

x 3

2n 1

x

3

lim

2n 1

x

n

un (x)

n

n

x

tg

2n

2n

x 3

q(x) ,

x

x

2

где

tg

при n .

2n

2n

Ряд сходится абсолютно, если

q(x)

x 3

1,

2

т.е.

x (1, 5). Напомним, что при x 3 все члены ряда равны нулю,

В точках x1 1,

x2 5,

определяемых

уравнением q(x) 1,

проведем дополнительное исследование.

При x 1 получаем знакочередующийся ряд

1

cn ( 2)n tg

.

n

n 1

n 1

2

Так как

1

1

lim

c

lim 2n tg

lim 2n

1 0,

n

n

n

2n

n

2n

5

cn

2n tg

n

n 1

n 1

2

(отметим, что tg

5

0

при n 2 ). Так как

2n

5

5

lim c

n

lim 2n tg

lim 2n

5 0,

2n

2n

n

n

n

n

x

n

.

2

n

3

x

n 1

u

(x)

n

x

n

n

.

2

n

3

x

x

1,

x 0;

x

x 0.

1,

un (x)

n

x

n

n

1

2

2

n

3

x

n

3

n

x 0 .

2-й случай. Зафиксируем

x 0.

Тогда получаем знакочередую-

щийся числовой ряд

n

x

n

n

u

n

(x)

2

( 1)n

2

.

n 1 n 3

x

n 3

n 1

n 1

n

( 1)n bn ( 1)n

n

2

3

n 1

n 1

удовлетворяет

признаку

Лейбница.

В

самом деле, во-первых,

bn

n

0

n ;

во-вторых,

последовательность

n

n2

3

n2 3

убывает.

Для доказательства этого свойства рассмотрим при t 1

функцию

f (t)

t

,

t2 3

где f (n)

n

,

n . Так как

n2 3

3 t2

f (t)

0

(t2 3)2

при t

3,

то

f (t)

убывает при t

3, . Отсюда следует, что

n 2,

n ,

последовательность

n

монотонно убывает.

n2

3

В-третьих,

lim

b

lim

n

0.

Следовательно, исходный

3

n

n

n n2

1

1

,

a .

n

n! 1 a

2n

x

2

n 1

Решение. Отметим, что при любом значении параметра a

члены ряда

1

1

un

(x)

n n! 1 a2n x2

определены при всех x , т.е.

E .

Применим признак Далам-

Если

a

1,

то

ряд

сходится

абсолютно

при

un (x)

1

1

, un 1(x)

1

1

,

n n! 1 a2n x2

n 1 (n 1)! 1 a2n 2 x2

un 1 (x)

n n! (1 a2n x2 )

,

un (x)

n 1 (n 1)! (1 a2n 2 x2 )

откуда для x 0,

a

1,

имеем

lim

un 1 (x)

lim

n n! a2n x2

lim

ne

1

q(x)

un (x)

1)a2

a2

n

n n 1 (n 1)! a2n 2 x2

n e (n

(согласно формуле (2.4)

n n! n при n ).

e

1

Ряд сходится абсолютно, если

q(x)

1,

т.е.

a

1. Отме-

a2

1

тим, что при x 0

получается числовой ряд

,

который рас-

ходится.

n 1 n n!

Если

a

1, то при фиксированном x

1

1

e

n

un (x)

при

.

n n!

1 a2n x2

n

Так как 1,

то согласно теореме 2.4 (частный признак сравне-

ния) ряд un (x)

расходится.

n 1

Аналогично, при

a

1 получаем функциональный ряд

1

1

,

n

n! 1 x

2

n 1

щим образом:

если

a

1,

то исходный функциональный ряд расходится при

любом x (т.е.

X );

если

a

1,

то ряд сходится абсолютно при любом

x 0 и рас-

ходится при x 0

(т.е. X ( , 0) (0, ) ).

ln (1 xn )

, x 0,

a .

n

a

n 1

Решение. Данный функциональный

ряд с параметром

a

рассматривается на множестве E { x : x 0}.

Рассмотрим три случая.

1-й случай. Пусть

0 x 1.

Тогда

ln (1 xn ) xn при

n .

При фиксированных x и a получаем числовой ряд

n

vn (x)

x

.

a

n 1

n 1 n

lim n

v

n

(x)

lim

n

xn

lim

x

x q(x)

na

n

n

n n na

(здесь lim n n 1 ). Так как q(x) x 1,

то ряд vn (x) сходится

n

n 1

абсолютно ( a ).

По теореме 2.3 (2-й признак сравнения) ряд

ln (1 xn )

un (x)

n

a

n 1

n 1

сходится абсолютно при 0 x 1

для любого a . Отметим, что

при x 0 все члены ряда

un (x)

равны нулю, ряд сходится, и

его сумма равна нулю.

n 1

Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно при 0 x 1,

a .

2-й случай. Пусть x 1. Тогда получаем ряд

lna2

,

n 1

n

который при фиксированном

a является обобщенным гармо-

ническим рядом (см. задачу 2.13) и сходится только при a 1.

Таким образом, ряд сходится абсолютно при

x 1,

a 1.

При

x 1, a 1 ряд расходится.

3-й случай. Пусть x 1.

Фиксируя x и a, получаем

n

n

1

n

1

ln (1 x

)

ln x

1

ln x

ln 1

x

n

x

n

1

1

n ln x

o

x

n

n

x

при n . Запишем тогда

ln (1 xn )

ln x

1