Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Решение. Для определения множества абсолютной сходимости

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

947.59 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

2-й способ. Запишем

sin n sin n2

sin n sin n

(n sin n)

sin n sin n2

n sin n

sin n sin n2

sin n

sin n sin n2

1 O

sin n 1
n
n
1

n

sin n sin n2

n .

при

Ряды

sin n sin n2

n 1

либо оба сходятся, либо оба расходятся. Так как ряд

sin n sin n

n 1

сходится (см. пункт а)), то исходный ряд

sin n sin n2

n sin n

n 1

также сходится.

Задача 3.15. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

а) sin4 n;

n 1 n

б) sin3 n.

n 1 n

Решение.

а) Так как	sin4 n	1	(cos 4n 4cos 2n 3),
имеет вид		8
имеет вид
	sin4 n			1	(cos 4n 4cos 2n
	n			8n	(cos 4n 4cos 2n
	n			8n

то общий член ряда

3).

Тогда

sin4 n

1 cos 4n

1 cos 2n

3 1

2 n

8 n

n 1

Ряды

cos 4n

cos 2n

n 1

сходятся условно (см. задачу 3.11), а гармонический ряд 1 рас-

n 1 n

ходится (см. задачу 1.5). По теореме 1.5 ряд sin

расходится.

n 1

б) Так как sin3 n

( sin 3n 3sin n),

то общий член ряда имеет

вид

sin3 n

( sin 3n 3sin n).

Покажем, что ряд сходится, и справедливо равенство

n 1

sin

sin 3n

3 sin n.

n 1

4 n 1

В самом деле, ряды

sin 3n

sin n

n 1

сходятся условно (см. задачу 3.11). По теореме 1.5 ряд sin

n 1

сходится, причем справедливо записанное выше равенство. Однако выяснение характера сходимости исходного ряда, представленного суммой двух условно сходящихся рядов

1			и	3			,
	sin 3n				sin n
4 n 1		n		4 n 1		n

требует дополнительного исследования. Ряд sin

может схо-

n 1

n на

диться или условно, или абсолютно. Исследуем ряд

sin

абсолютную сходимость.

n 1

Воспользуемся неравенством

sin3 n

sin4 n ,

n .

n расходится (см. пункт а)), то по теореме 2.2

Так как ряд sin

n 1

sin3 n

(1-й признак сравнения) ряд

расходится, т.е. исходный

n 1

n сходится условно.

ряд sin

n 1

4. Области абсолютной и условной сходимости функциональных рядов

Определение 4.1. Пусть функции un (x), n ,	определены на
множестве E . Выражение

u1(x) u2 (x) ... un (x) ... un (x)	(4.1)
n 1
называется функциональным рядом.
Определение 4.2. Функциональный ряд

un (x)
n 1

называется сходящимся в точке x0 E, если сходится числовой ряд

un (x0 ),

n 1

иабсолютно сходящимся в точке x0 E, если сходится числовой ряд


	un (x0 )			.
	un (x0 )			.
n 1

Говорят, что функциональный ряд			un (x)		сходится	в точке
				n 1

x0 E условно, если числовой ряд		un (x0 )			сходится,	а ряд из

n 1

модулей un (x0 ) расходится.

n 1

Определение 4.3. Совокупность X E всех точек x, в которых

функциональный ряд (4.1) сходится абсолютно (условно), называ-

ется множеством абсолютной (условной) сходимости, или областью абсолютной (условной) сходимости этого ряда.

Критерий Коши. Для того чтобы функциональный ряд

un (x) сходился на множестве X, необходимо и достаточно, что-

n 1			N N ( , x),			p
бы 0	x X		N N ( , x),	такой, чтобы n N		p
было выполнено неравенство
		un 1 (x) un 2 (x) ... un p (x)			.
		un 1 (x) un 2 (x) ... un p (x)			.

Замечание 4.1. Для определения множества абсолютной сходи-

мости функционального ряда un (x) можно воспользоваться ли-

n 1

бо признаком Даламбера, либо признаком Коши. Именно, еслиx E существует

lim	un 1(x)		q(x)	(4.2)
n		un (x)
или
lim n		un (x)	q(x),	(4.3)
lim n		un (x)	q(x),	(4.3)
n
n

то для определения множества абсолютной сходимости функционального ряда (4.1) следует решить неравенство q(x) 1, а для

определения множества расходимости ряда (4.1) – неравенство q(x) 1. Для изучения поведения ряда в граничных точках, опре-

деляемых уравнением q(x) 1, требуется дополнительное исследо-

вание.

Разумеется, «идеальными» случаями (4.2) и (4.3) не исчерпываются все возможные ситуации. Например, может случиться так, что

бесконечное число членов ряда un (x) обращается в нуль в ка-

n 1

ких-то точках x E или не существуют пределы (4.2) и (4.3). Тогда следует применять другие, более тонкие признаки сходимости.

Задача 4.1. Найти множество сходимости функционального ря-

да

sin

n 1

Решение. Все функции

un (x) sin

n , определены на

множестве ,

т.е. E (см. определение 4.1).

Если x 0,

то все члены исходного ряда равны нулю.

Возьмем произвольное

x \ {0} и зафиксируем его. Рассмот-

рим числовой ряд un (x) и исследуем его на сходимость. Запи-

n 1

шем ряд из модулей

un (x)

sin

...

sin

... .

n 1

Для любого фиксированного x \ {0} справедливо неравенство

sin

n .

Рассмотрим числовой ряд

vn (x)

n 1

Применим к нему теорему 2.5 (признак Даламбера):

vn (x)

, vn 1 (x)

vn 1(x)

x 2n

2n 1

(x)

2n 1

2 .

Так как

vn 1(x)

q 1,

lim

vn (x)

то ряд

сходится. Поэтому по теореме 2.2 (1-й признак срав-

n 1 2

нения) ряд

sin 2xn

n 1

сходится абсолютно при каждом фиксированном x . Следовательно, исходный функциональный ряд сходится абсолютно при x ( , ), т.е. множество сходимости X ( , ).

Задача 4.2. Найти множество сходимости функционального ря-

да


	( 1)		n 1
	( 1)			, x 2.
	n 3n	(x 2)n		, x 2.
n 1	n 3n	(x 2)n

Решение. Для определения множества абсолютной сходимости данного функционального ряда применим признак Коши (см. фор-

мулу (4.3)):

lim n

un (x)

lim

2 n n

n 3n

(x 2)n

n 3

					1			q(x)
				3	x 2			q(x)
(отметим, что lim n			n 1 ). Ряд сходится абсолютно, если
		n
			q(x)			1			1,
			q(x)			3 x 2			1,
						3 x 2
т.е. x 17	,	и расходится при				2 x 17 .
9	x 17 ,								9
В точке	x 17 ,		определяемой уравнением							q(x) 1, проведем
		9
дополнительное исследование.
При x		17 получаем знакочередующийся числовой ряд
		9					n 1
						( 1)	n 1
						( 1)		,
				n 1		n

который сходится условно (см. задачу 3.5). Таким образом, исход-

ный ряд сходится абсолютно при x				17 , сходится условно при
x 17 и расходится при			2 x 17	9
x 17 и расходится при			2 x 17	, т.е. множество сходимо-
9	17		9
	17
сти X	9	, .
	9
Задача 4.3. Найти множество сходимости функционального ря-
да

данного функционального ряда применим признак Коши (см. фор-

мулу (4.3)):

lim n

un (x)

lim

q(x).

Ряд сходится абсолютно,

если

q(x)

т.е.

e, и расхо-

x2 e,

дится при

e. В точках

определяемых

уравнением q(x) 1, проведем дополнительное исследование.

При x e получаем знакочередующийся ряд

1 n2

cn ( 1)

n 1

который расходится, так как не существует

lim

(см. ниже слу-

чай x e ).

При x e получаем ряд с положительными членами

1 n2

n 1

Вычислим

ln 1

lim c

lim

lim e

n n

lim

ln 1

Предел в показателе экспоненты вычислим отдельно:

lim n

ln 1

lim n

	1	o (1)	1	.
lim	2		2
n

Тогда

lim cn e 1/2 1e 0,

и по следствию 1.1 из теоремы 1.3 ряд cn расходится. Следова-

n 1

тельно, исходный функциональный ряд сходится абсолютно при

x ( , e) (e, ) и расходится при

x [ e, 0) (0, e], т.е.

множество сходимости X ( , e) (e, ).

Задача 4.4. Найти множество сходимости функционального ря-

да

	x	n
	x			.
	1 x		2n	.
n 1	1 x

Решение. Применим признак Коши (см. формулу (4.3)) для определения множества абсолютной сходимости заданного функционального ряда.

Если

то ряд сходится абсолютно. В самом деле, здесь

lim

un (x)

lim n

q(x) 1.

1 x2n

Если

то ряд также сходится абсолютно. В самом деле,

lim n

un (x)

lim

1 x2n

x 2n

q(x) 1,

если

В точках

x1 1, x2

или

определяемых уравнением

q(x) 1, проведем дополнительное исследование. При x 1 получаем, что

un (x)		xn	1	,


	1	x2n	2

т.е. соответствующий числовой ряд расходится по следствию 1.1 из теоремы 1.3.

Следовательно, исходный функциональный ряд сходится абсолютно при x ( , 1) ( 1,1) (1, ) и расходится при

x { 1,1}, т.е. множество сходимости

X ( , 1) ( 1,1) (1, ).

Задача 4.5. Найти множество сходимости функционального ря-

да

			x
		(x 3)n tg	x		.
		(x 3)n tg	n		.
	n 1	2
Решение. Общий член функционального ряда имеет вид
	un (x) (x 3)n tg			x		.
	un (x) (x 3)n tg					.
				2n			x
Область определения E задается условием							x		k, или
Область определения E задается условием							2n	2	k, или
x 2n 1 (2k 1),							2n	2
x 2n 1 (2k 1),	где n ,	k .

Возьмем произвольное x 2n 1 (2k 1) и зафиксируем его. Рассмотрим числовой ряд

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ

#
17.05.20241.97 Mб42Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013.pdf
#
17.05.20241.47 Mб8Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013.pdf
#
17.05.202418.7 Mб3PrilepkoAI_Tenzornaya_algebra_i_samosopryazhennye_operatory.pdf
#
17.05.20241.91 Mб2Sandakov_Nachala_tenzornogo_ischisleniya_Metodicheskie_rekomendacii_2009.pdf
#
17.05.2024947.59 Кб20Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021.pdf
#
17.05.2024951.32 Кб0Zadania_na_ekvivalentnost_Ryady.pdf
#
17.05.20244.66 Mб1АнтиДем3сем.pdf
#
29.01.202460.8 Mб1Билеты ВТА.pdf
#
15.01.202517.23 Кб1ВТА Вопросы 2024 Гришин С.А..docx
#
17.05.2024132.89 Кб5Ряды.pdf