Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

947.59 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Так как ряд 4						1
Так как ряд 4						1	расходится (см. задачу 2.13), то по теореме 2.1
		3 k 1				k
				4		m	1 при m . Следовательно,
получаем, что				4			1 при m . Следовательно,
				3 k 1			k		lim S3m ,
									n
и по той же теореме 2.1 ряд из модулей расходится.

Исследуем исходный ряд an																на условную сходимость. По-
ложим												n 1
ложим
u	n	1 ,		v	1,		v	1,		v 2,						v 1,		v 1,		v		2, ... .
	n	n		1			2				3				4			5			6
		n

Тогда an unvn ,						n .		Очевидно,							что ряд			vn		обладает ограни-
																		n 1
ченной последовательностью частичных сумм:
		S1 1,				S2	2, S3			0, S4					1, S5			2,	S6	0, ...,
						S3n 2		1,			S3n 1			2, S3n 0, ... .
Последовательность {un }										1				монотонно стремится к нулю при
Последовательность {un }														монотонно стремится к нулю при
										n
n . Поэтому по теореме 3.5 (признак Дирихле) ряд сходится.
Таким образом, исходный ряд сходится условно.
																			( 1)		n 1
Задача 3.10. Члены сходящегося ряда																			( 1)				переставить
Задача 3.10. Члены сходящегося ряда																				n			переставить
так, чтобы он стал расходящимся.																		n 1		n
так, чтобы он стал расходящимся.
Решение. Ряд
						n 1			1				1			1	1		1			1		1
an			( 1)				1		1				1			1	1		1			1		1	...
an							1						3						6			7		8	...
n 1		n 1			n			2					3		4			5	6			7		8

сходится условно (см. задачу 3.1 и задачу 3.5, p 1 / 2 ).

Ряд

		1	1		1		1		1	1		1
an 1													...
	3		5		2	7			9	11		4
n 1
	1				1			1		1	...
	6n 5			6n 3				6n 1		2n

получается из исходного следующим образом: за тремя положительными членами следует очередной отрицательный член.

Рассмотрим частичную сумму S4m ряда an . Имеем

n 1

S4m

6k 5

6k 1

k 1

В силу неравенства

k ,

6k 3

6k 1

получим оценку

S4m

m .

6k 5

k 1

Так как ряд

расходится (см. задачу 2.13), то по теоре-

6k 5

k 1

ме 2.1 получаем, что

при

m .

6k 5

k 1

Следовательно,

lim S4m

и по той же теореме 2.1 ряд an расходится. Данная задача, как и

n 1

задача 3.7, согласована с теоремой 3.3 (Римана).

Задача 3.11. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

			2 m,	m ;
а) cos n		,	2 m,	m ;
n 1	n

б) sin n.
n 1	n

Решение.

а) Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей

cos n

n 1

Используя неравенство

cos n

cos2 n

и формулу понижения

степени cos2 n

1 (1 cos 2 n), получим

cos2

cos n

1 cos 2 n

Ряд

cos 2 n

n 1

расходится, так как является суммой сходящегося

cos 2 n

n 1

(см. далее) и расходящегося

n 1 2n

рядов (см. теорему 1.5). Поэтому абсолютной сходимостью исходный ряд не обладает.

Исследуем этот ряд на условную сходимость. Положим un 1n ,

vn cos n. Рассмотрим ряд cos n. Модуль его n-й частичной

n 1

суммы Sn равен (см. прил. 1, задача П1.1)

cos

(n 1)

sin n

sin

Так как 2 m, m ,

то n выполнено неравенство

sin

т.е. последовательность частичных сумм ряда

cos n

n 1

ограничена. Так как к тому же последовательность {un } 1

мо-

нотонно стремится к нулю при n , то по теореме 3.5 (признак Дирихле) ряд

		2 m, m ,
cos n,		2 m, m ,
n 1	n
сходится.
Таким образом, исходный ряд сходится условно.
Замечание 3.4. Отметим, что при 2 m,			m , исходный
ряд

	cos n
	n 1	n

является гармоническим рядом 1, который расходится (см. за-

n 1 n

дачу 1.5).

б) При l, l , все члены ряда

sin n

n 1 n

равны нулю, т.е. ряд сходится, и его сумма равна нулю.

Пусть теперь l, l . Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей

sin n

n 1

Используя неравенство

sin n

sin2 n

и формулу

sin2 n

(1 cos 2 n),

получим

sin n

sin2

1 cos 2 n

Ряд

cos 2 n

n 1

расходится, так как является разностью расходящегося 1 и

n 1 2n

сходящегося

cos 2 n

n 1 2n

(см. пункт а)) рядов (см. теорему 1.5).

Исследуем этот ряд на условную сходимость. Положим un 1n , vn sin n. Рассмотрим ряд


		sin n.
		n 1
Модуль его n-й частичной суммы				Sn равен (см. прил. 1, зада-
ча П1.2)
		sin	(n 1) sin n
		sin	(n 1) sin n
	Sn		2	2	.
			2	2
			sin
			sin
				2

Так как l	(в частности, 2 p ),					p ,	l , то n вы-
полнено неравенство
		Sn	1			,
			1
				sin
				sin
					2
т.е. частичные суммы ряда

	vn		sin n
	n 1		n 1

ограничены в совокупности. Так как при этом последовательность

{un } 1	монотонно стремится к нулю при n , то по теореме
n
3.5 (признак Дирихле) ряд

		sin n
сходится.		n 1	n
сходится.			ряд при l , l , сходится
Таким	образом,	исходный	ряд при l , l , сходится
условно; при l,		l , сходится (состоит из нулей).

Задача 3.12. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

	( 1)n sin	2	n.

n 1	n

Решение. Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Ряд из модулей

		2	n		1 cos 2n
sin			n		1 cos 2n
n 1	n			n 1	2n

расходится (см. задачу 3.11, пункт б)).

Исследуем исходный ряд на условную сходимость. Запишем

	( 1)n sin	2	n		( 1)n 1 cos 2n
	( 1)n sin		n		( 1)n 1 cos 2n
n 1	n			n 1	2n

1	( 1)n 1	1	( 1)n cos 2n.

2 n 1	n	2 n 1	n

Запись корректна, так как оба последних ряда сходятся. Действительно, ряд

( 1)n

n 1 n

сходится по признаку Лейбница (см. задачу 3.5). Покажем, что сходится и ряд

	( 1)n cos 2n.
	( 1)n cos 2n.
n 1	n

Признак Лейбница применять нельзя, хотя бы потому, что ряд

	( 1)n cos 2n
	( 1)n cos 2n
n 1	n

не является знакочередующимся. Поступим по-другому. Положим

un	1	,	vn ( 1)n cos 2n.	Последовательность		1	моно-
	n				{un }
					n

тонно стремится к нулю при n . Рассмотрим ряд


			( 1)n cos 2n.
			n 1
Модуль его n-й частичной суммы							Sn равен (см. прил. 1, задача
П1.3, 2 )
	Sn			1		( 1)n cos (2n 1)		.


				2			2cos1
				2			2cos1
Частичные суммы ряда

		vn ( 1)n cos 2n
		n 1			n 1

ограничены в совокупности, так как n

Sn	1	1	1		1

				1		.
	2	2cos1	2		cos1

По теореме 3.5 (признак Дирихле) ряд

	( 1)n cos 2n
	( 1)n cos 2n
n 1	n

сходится. Следовательно, полуразность рассмотренных рядов есть

1		( 1)n 1		( 1)n cos 2n
1		( 1)n 1		( 1)n cos 2n
2	n 1	n	n 1	n

и также является сходящимся рядом (см. теорему 1.5). Таким образом, исходный ряд сходится условно.

Задача 3.13. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

( 1)n 1 arctg n.

n 1 n

Решение. Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей


			arctg n.
Известно, что			n 1		n
Известно, что
		lim arctg n					,
		n				2
поэтому общий член ряда из модулей
	arctg n				при		n .
	n		2	n	при		n .
	n		2	n

Так как 12 1, то по теореме 2.4 (частный признак сравнения)

ряд из модулей расходится.

Исследуем исходный ряд на условную сходимость. Положим

u	n	arctg n,	v		( 1)n 1	.
	n			n	n
					n

Последовательность {un } {arctg n} монотонно возрастает и ограничена (так как функция arctg x возрастает и ограничена на промежутке (0, ) ). Ряд

		( 1)	n 1
vn
n 1	n 1	n

сходится условно (см. задачу 3.5). Поэтому по теореме 3.6 (признак Абеля) ряд сходится.

Таким образом, исходный ряд сходится условно. Задача 3.14. Выяснить, сходятся ли числовые ряды:

а)

sin n sin n

;

n 1

б)

sin n sin n

n 1

n sin n

Решение.

а) Запишем общий член ряда в виде

sin n sin n2

2sin n2

sin n

cos(n2

n) cos (n2

, n .

Положим

cos(n2

n) cos (n2 n).

Последователь-

ность

{un }

монотонно стремится к нулю при

n . Частичные суммы ряда

ограничены в совокупности, так как

n 1

(cos(k2 k) cos (k2

k 1

(1 cos 2) (cos 2 cos6) ... (cos (n2 3n 2) cos (n2 n))

(cos (n2

n) cos (n2

n))

1 cos (n2

2sin	2	n2 n	2,	n .
		2

По теореме 3.5 (признак Дирихле) исходный ряд сходится. б) 1-й способ. Запишем общий член ряда в виде

		sin n sin n2			v ,
				u	v ,
		n sin n			n n
где		n sin n
где		1
u	n	1	,	v sin n sin n2 .
u			,	v sin n sin n2 .
		n sin n		n
		n sin n

Последовательность частичных сумм ряда vn ограничена (см.

n 1

пункт а)). Покажем, что последовательность

	1
{un }

n sin n

монотонно убывает к нулю при n . Для этого рассмотрим функцию

f (x)	1	, x 1,
	x sin x

где f (n) un , n . Так как

	1 cos x			x 1,
f (x)		0	при
	(x sin x)2

то вместе с функцией последовательность {un } монотонно убывает, причем

lim u	n	lim	1	lim		1		0.
							sin n
n		n n sin n		n
					n 1		n

Таким образом, по теореме 3.5 (признак Дирихле) исходный ряд сходится.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ

#
17.05.20241.97 Mб44Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013.pdf
#
17.05.20241.47 Mб12Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013.pdf
#
17.05.202418.7 Mб3PrilepkoAI_Tenzornaya_algebra_i_samosopryazhennye_operatory.pdf
#
17.05.20241.91 Mб2Sandakov_Nachala_tenzornogo_ischisleniya_Metodicheskie_rekomendacii_2009.pdf
#
17.05.2024947.59 Кб20Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021.pdf
#
17.05.2024951.32 Кб0Zadania_na_ekvivalentnost_Ryady.pdf
#
17.05.20244.66 Mб1АнтиДем3сем.pdf
#
29.01.202460.8 Mб1Билеты ВТА.pdf
#
15.01.202517.23 Кб1ВТА Вопросы 2024 Гришин С.А..docx
#
17.05.2024132.89 Кб5Ряды.pdf