Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021

При всех n справедливо неравенство

на условную сходимость. Докажем, что этот ряд удовлетворяет признаку Лейбница (т.е. является рядом Лейбница). Действительно,

Согласно признаку Лейбница ряд сходится. Таким образом, ряд

(см. задачу 1.5).

31

Задача 3.2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

ряд qn 1 ( q 0 ) и в случае сходимости найти его сумму.

n 1

Решение. Указанный ряд

называется бесконечной геометрической прогрессией.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Ряд из модулей имеет вид

мы 1.3 ряд расходится.

Если q 1, то получаем ряд 1 1 1 ... 1 ..., его частичная

сумма Sn n, lim Sn , поэтому по определению 1.2 этот ряд

n

расходится.

не существует (см. задачу 1.11), поэтому по определению 1.2 этот ряд расходится.

32

Ряд сходится абсолютно при 0 q 1, и в этом случае его сумма равна

Замечание 3.3. В общем случае геометрической прогрессии ряд типа (3.4) имеет вид ( b1 0, q 0 )

Его частичная сумма равна

Sn b1 b1q ... b1qn 1 b1(1 qn ) . 1 q

При 0 q 1 ряд (3.5) сходится абсолютно, и его сумма равна

Задача 3.3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

33

Решение. Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей

Это ряд представляет собой сумму S бесконечно убывающей геометрической прогрессии (см. задачу 3.2) с b1 1, q 12 , поэтому

Ряд из модулей сходится, и его сумма S 2. Согласно теореме 3.1 исходный ряд также сходится. Итак, заданный ряд сходится абсолютно.

Задача 3.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

( 1)n 1 n2 n n1 1.

n 1

Решение. Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей

теореме 2.4 (частный признак сравнения) ряд из модулей расходится.

Исследуем этот ряд на условную сходимость. Проверим условия признака Лейбница:

1)n bn n2 n n1 1 0;

2)последовательность {bn } монотонно убывает, так как

34

n3 4n2 6n 3 1; n3 3n2 3n 2

3) lim bn lim n2 n n1 1 0.

n n

По признаку Лейбница ряд сходится. Согласно определению 3.2 исходный ряд сходится условно.

Задача 3.5. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

сходится (см. задачу 2.13). Поэтому по теореме 3.1 отсюда следует сходимость ряда

т.е. ряд сходится абсолютно;

35

б) если 0 p 1, то ряд из модулей

расходится (см. задачу 2.13), т.е. исходный ряд не будет сходиться абсолютно. Исследуем исходный ряд

на условную сходимость. Докажем, что этот ряд удовлетворяет признаку Лейбница (т.е. является рядом Лейбница). Действительно,

сходится условно, если 0 p 1; расходится, если p 0.

Задача 3.6. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

ствию 1.1 из теоремы 1.3 исходный ряд расходится.

При p 0 преобразуем общий член ряда an , применяя формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано. Имеем

при n . Ряд

36

сходится при p 0 согласно теореме 2.4. Таким образом, исходный ряд сходится при p 0 . В таком случае, поскольку при n 2

неравенства и теоремы 2.2 исходный ряд сходится абсолютно при p 1. При 0 p 1 ряд сходится условно.

Задача 3.7. Зная сумму знакочередующегося ряда

( 1)n 1 ln 2,

n 1 n

найти сумму ряда

1 12 14 13 16 18 ...,

полученного из исходного в результате перестановки его членов.

Решение. Ряд

получается из исходного следующим образом: после каждого положительного члена идут два очередных отрицательных члена.

37

Отметим, что после конкретной перестановки членов исходного ряда (3.6) группировать члены частичных сумм ряда (3.7) для вычисления его суммы можно по-разному.

Обозначим частичныесуммы рядов (3.6) и (3.7), соответственно,

Таким образом, показано, что ряд (3.7) сходится и имеет сумму, равную 12 S 12 ln 2. Как видим, решение данной задачи иллюстрирует теорему 3.3 (Римана).

38

Задача 3.8 (продолжение разбирается в задаче 7.7). Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

В случае сходимости найти сумму.

Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей

Ряд расходится, так как является гармоническим рядом 1 (см.

n 1 n

задачу 1.5). Таким образом, абсолютной сходимости нет. Покажем, что ряд сходится условно. Для этого рассмотрим его

частичные суммы вида