Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

947.59 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

nn 1n

Задача 1.8. Исследовать на сходимость ряд

		1	2	3	...		n			...
		2	2	8	...		3n 1			...
		2	5	8			3n 1
Решение. Так как
lim a	n	lim		n		lim			1		1	0,
lim a		lim				lim				1	3	0,
n			n 3n 1			n				1	3
								3	n

то по следствию 1.1 из теоремы 1.3 данный ряд расходится. Задача 1.9. Исследовать на сходимость ряд

		n 1
		n n
		n n			.
			1	n	.
n 1			1
	n		n
			n

Решение. Разделим числитель и знаменатель общего члена ряда на nn :

an
an		1	n
	n	n
		n

Тогда

	nn			.
		1	n
1
		n2

lim n n

lim a

lim

lim 1

так как

lim n n 1,

lim 1

Поскольку lim an 0, то по следствию 1.1 из теоремы 1.3 данный

ряд расходится.

Задача 1.10. Исследовать на сходимость ряд

n ln n

n 2

Решение. При n 2

справедливы неравенства ln 2 ln n n, по-

этому n ln 2 n ln n n n. Так как lim

n ln 2 1,

lim n n 1, то по

теореме о трех последовательностях получаем,

что lim n ln n 1.

Тогда lim an lim

1 1 0. Поэтому по следствию 1.1 из

n n ln n

теоремы 1.3 данный ряд расходится.

Задача 1.11. Исследовать на сходимость ряд

( 1)n 1 1 1 1 1 ...

n 1

Решение.

( 1)n 1, то

1-й способ. Так как

lim a

не существует. По-

n n

этому по следствию 1.1 из теоремы 1.3 данный ряд расходится.

2-й способ. Рассмотрим последовательность

Sn частичных

сумм ряда. Запишем

S1 a1

a2 0, S3

a1 a2

a3 1, ...,

S2n 1 1,

S2n 0, ...

Так как lim Sn

не существует, то по определению 1.2 данный ряд

расходится.

2. Числовые ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости


Теорема 2.1. Пусть дан ряд an ,	где an 0	n . Для того,
n 1

чтобы этот ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм Sn была ограничена сверху.


Ряд an ,	где an 0	n , расходится тогда и только тогда,
n 1

когда lim	Sn .
n
Теорема 2.2 (1-й признак сравнения). Пусть даны два ряда

	an a1	a2	... an ...,	(2.1)
	n 1

	bn b1	b2	... bn ...,	(2.2)
	n 1
и пусть существует номер n0 ,			такой, что n n0	выполняются
неравенства

0 an bn .

Тогда из сходимости ряда (2.2) следует сходимость ряда (2.1), а из расходимости ряда (2.1) следует расходимость ряда (2.2).

Теорема 2.3 (2-й признак сравнения, предельная форма).

Пусть даны два ряда (2.1) и (2.2) и пусть существует номер n0 ,

такой, что n n0	an 0 , bn 0.		Если существует
	lim an	l,	0 l ,
	n b
	n

то ряды (2.1) и (2.2) либо оба сходятся, либо оба расходятся.

В частности, если an bn при n (т.е. l 1), то ряды (2.1) и

(2.2) либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Теорема 2.4 (частный признак сравнения). Пусть дан ряд


(2.1) и пусть n			an 0 . Тогда:
1) если c 0 и		, такие, что an		с	,	n ,	то ряд (2.1)
				n
сходится при 1	и расходится при 1;
	1
2) если an O			, то при p 1 ряд (2.1) сходится.
		p
n
Замечание 2.1.		Вопрос о расходимости ряда (2.1) при p 1

(случай 2) теоремы 2.4) остается открытым, так как может оказать-

ся,

что

ряд

или

сходится, или

расходится.

Например,

для

O 1

n (здесь

p 1 1),

получим,

что

ряд

сходится. С другой стороны, для

n 1

n (здесь

p 1 / 2 1), получим, что ряд

1 расхо-

n 1

дится.

Теорема 2.5.

1. Обобщеный признак Даламбера. Пусть дан ряд (2.1) с по-

ложительными членами. Если lim an 1 q 1, то ряд сходится.

n an

Если an 1	1	n n , в частности, если	lim an 1	q 1, то ряд
an		0	n an
an			n an

расходится.

На практике, в основном, применяется следующее более слабое условие.

2. Признак Даламбера. Пусть дан ряд (2.1) с положительными

членами. Если существует lim an 1 q, то при q 1 ряд сходится,

n an

а при q 1 – расходится.

Теорема 2.6.

1. Обобщенный признак Коши. Пусть дан ряд (2.1) с неотри-

цательными членами. Если lim n an q 1, то ряд сходится. Если

lim n an q 1, то ряд расходится.

На практике, в основном, применяется следующее более слабое условие.

2. Признак Коши. Пусть дан ряд (2.1) с неотрицательными

членами. Если существует lim n an q, то при q 1 ряд сходится,

а при q 1 – расходится.

Отметим, что при q 1 (теоремы 2.5, 2.6) может оказаться, что

ряд или сходится, или расходится, т.е. требуется дополнительное исследование.

Теорема 2.7 (признак Раабе). Пусть дан ряд (2.1) с положи-

		a	n
тельными членами. Если существует	lim n				1	q,	то при
		a
	n
		n		1

q 1 ряд сходится, а при q 1 – расходится. При q 1 требуется

дополнительное исследование.

Теорема 2.8 (интегральный признак Коши–Маклорена). Ес-

ли функция f (x) неотрицательна и монотонно убывает на проме-


жутке [a, ), где	a 1, то ряд	f (n) и несобственный инте-
		n n0

грал f (x) dx либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Замечание 2.2. При исследовании сходимости числовых рядов с неотрицательными членами бывает полезна формула Стирлинга

n!	n n	при n ,	(2.3)
	2 n
	e

которая описывает поведение факториала n! при больших значениях n (см. прил. 3).

Из формулы (2.3) вытекает соотношение

n n! n	при n .	(2.4)
e

Задача 2.1. Пусть последовательность {xn } с положительными членами монотонно возрастает и ограничена. Доказать, что ряд

		xn
	1	xn
	1	x
n 1		n 1

сходится.

Решение. По условию члены записанного ряда неотрицательны, поэтому достаточно доказать (см. теорему 2.1), что последователь-

ность {Sn } его частичных сумм ограничена сверху. При любом n имеем

xk 1 xk

(xk 1 xk )

k 1

2 k 1

xn 1 x1

xn 1

M ,

где 0 M

sup x

Таким образом, доказано, что последовательность {Sn } частич-

сходится.

ных сумм ограничена сверху, и ряд

n 1

Задача 2.2. Зная, что ряд

сходится (см. задачу 1.1),

n(n 1)

n 1

установить сходимость ряда

n 1

Решение. Так как

то с учетом неравенств

(n 1)

n 1

n 0

n ,

(n 1)2

n(n 1)

по	теореме	2.2 (1-й признак сравнения) из сходимости ряда
	1		1
		следует сходимость ряда		.
	n(n 1)		2
n 1		n 1	n

Замечание 2.3. Позже будет показано (см. задачу 2.13), что

				1
обощенный гармонический ряд						сходится при			p 1 и рас-
				p
ходится при p 1.	n 1			n

Задача 2.3. Исследовать на сходимость ряд
	3n	2	2
					.
	4
n 1	n	5n
	3n2 2					3			n . Так
Решение. Отметим, что an n4						bn		при
			5n				n2

как 2 1, то по теореме 2.4 (частный признак сравнения) ис-

ходный ряд сходится.

Задача 2.4. Исследовать на сходимость ряд

				1	1

			n 7 n		7 n 2 .
	n 1
Решение. Отметим, что общий член ряда
an		1		1		n .
an	n 7n		7	n	2 0	n .

Используя формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, запишем ( a 0, a 1)

at 1 t ln a		t2	ln2 a o(t2 )					при	t 0.
at 1 t ln a			ln2 a o(t2 )					при	t 0.
		2
Тогда при n имеем
1	1			1		2		1
	1			1		2		1
7n 1		ln 7			ln		7	o		,
7n 1	n	ln 7		2n2	ln		7	o		,
	n			2n2				n2

7 n 1

ln 7

7 o

2n2

откуда

n 7n

n 2

7 o

ln2 7

ln2

n3/2

n3/ 2

Так как

3 1,

то по теореме 2.4 (частный признак сравнения)

данный ряд сходится.

Задача 2.5. Исследовать на сходимость ряд

n a

log

n 1

( a 0,

b 1).

n 1

Решение. Преобразуем общий член ряда

n a

ln 1

n a

log

n 1

n ln b

n a

при n .

n ln b

Так как p 2 1, то по теореме 2.4 (частный признак сравнения)

данный ряд сходится.

Задача 2.6. Исследовать на сходимость ряд

1 cos n 2n ln n . n 1 2 cos n

Решение. Очевидно, что признак Коши (теорема 2.6, ч. 2) непригоден для анализа сходимости этого ряда.

Применим обобщенный признак Коши. Поскольку

1 cos n

ln n

1 2

ln n

lim n an

lim

2 cos n

lim 1

cos n

ln n

q 1,

lim

n 3

то исходный ряд сходится.

Задача 2.7. Исследовать на сходимость ряд

			n	.
	n3	2 ( 1)n		n
n 1		3

Решение. Используем теорему 2.6, ч. 1 (обобщенный признак Коши). Запишем

n n3

2 ( 1)n n

2k (2k)3

2 1

lim

n an lim

lim

2 1 q 1,

т.е. исходный ряд сходится (здесь верхний предел достигается на

подпоследовательности номеров nk			2k, lim		2k 2k 3	1 ).
				k
Задача 2.8. Исследовать на сходимость ряд
	n cos2 n
			3	.
	2	n		.
n 1	2

Решение. Используем теорему 2.6, ч. 1 (обобщенный признак Коши). Так как

n 3k 2;

2 n

cos

n 3k 1;

k ,

n 3k,

то

n cos2 n

3k cos

lim

23k

lim

3k 3k

Следовательно, исходный ряд сходится. Задача 2.9. Исследовать на сходимость ряд

n 1

Решение.

1-й способ. Имеем

n n

an 1

n 1 n 1 ,

(n 1)!

тогда

n 1

n n

1)!

n 1

Вычислим

an 1

1 2

lim

n 1

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ

#
17.05.20241.97 Mб42Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013.pdf
#
17.05.20241.47 Mб8Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013.pdf
#
17.05.202418.7 Mб3PrilepkoAI_Tenzornaya_algebra_i_samosopryazhennye_operatory.pdf
#
17.05.20241.91 Mб2Sandakov_Nachala_tenzornogo_ischisleniya_Metodicheskie_rekomendacii_2009.pdf
#
17.05.2024947.59 Кб20Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021.pdf
#
17.05.2024951.32 Кб0Zadania_na_ekvivalentnost_Ryady.pdf
#
17.05.20244.66 Mб1АнтиДем3сем.pdf
#
29.01.202460.8 Mб1Билеты ВТА.pdf
#
15.01.202517.23 Кб1ВТА Вопросы 2024 Гришин С.А..docx
#
17.05.2024132.89 Кб5Ряды.pdf