Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

947.59 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Интегрируя, для любого x с условием 0

1 получим

ln (1 t)

S (t) dt

dt lim

1 t ln (1 t)

lim

1 x

ln (1

lim

)

ln (1 )

1 x

ln (1

x) 1.

Итак, при 1 x 1 запишем

x ln (1

...

x) 1.

n(n 1)

n 1

1 2

3 4

Заметим, что теорема 7.2 и соображения непрерывности позволяют

включить в последнюю формулу значения x 1 и x 0 .
Задача 7.13. Найти сумму ряда
	(2n 1)!!xn 1	1 x	1 3	x2	1 3 5	x3 ... .
1
n 1	(2n)!!	2	2 4		2 4 6

Решение. Отметим, что исходный ряд сходится в точке x 1 и

расходится в	точке	x 1.		Пусть сумма данного ряда равна S(x),
где 1 x 1	. Дифференцируя				почленно			ряд	внутри интервала
сходимости, получим
	1		1 3		1 3 5		2

S (x) 2				2x		3x		...,		x	1.
			2 4		2 4 6

Умножив обе части последнего равенства на (1 x), найдем, что

			1		1 3				1 3 5					2		1	1 3		2
	S (x)(1 x) 2					2x						3x				2 x 2 4		2x
					2 4				2 4 6
	1 3 5	3x3	... 1	1 x				1 3			x2				1 3 5		x3 ...			1 S(x).
							2	2		4			2		2 4 6
	2 4 6		2		4															2
Общее решение полученного дифференциального уравнения
											1	S (x)
					S (x) (1 x) 2

131

на промежутке 1 x 1 имеет вид S (x)											C		. Так как S(0) 1,
на промежутке 1 x 1 имеет вид S (x)											1 x		. Так как S(0) 1,
то C 1, поэтому											1 x
то C 1, поэтому
		S (x)	1			,		x	1.
			1

			1 x
			1 x
Итак, для 1 x 1 запишем
	(2n 1)!! xn	1 1 x		1	3				1	3 5				1
1				1	3		x2		1	3 5		x3 ...		1	.
1							x2					x3 ...		1 x	.
n 1	(2n)!!	2	2		4			2		4 6				1 x

Фактически в этом примере дан вывод формулы (6.17), не использующий общего разложения (6.13).

Задача 7.14. Найти сумму ряда

...

... .

(4n)!

n 0

12!

Решение. Данный ряд сходится на всей числовой оси. Точнее, этот степенной ряд имеет радиус сходимости R и поэтому сходится абсолютно при x ( , ) и равномерно на любом от-

резке. Запишем

S (x) 1	x4		x8		x12	...	x4n	... .
							(4n)!
4!		8!		12!

Дифференцируя данный ряд почленно внутри интервала сходимости, т.е. x ( , ), последовательно четыре раза, получим

x11

x4n 1

(x)

...

...,

11!

(4n 1)!

x10

x4n 2

10! ...

(4n 2)! ...,

(x)

x4n 3

9! ... (4n 3)! ...,

(x)

S (IV ) (x) 1

...

x4n 4

... .

(4n 4)!

132

Следовательно, сумма S (x) исходного ряда удовлетворяет дифференциальному уравнению

S (IV ) (x) S(x)
с начальными условиями S (0)		S		S		0. Реше-
	1, S (0)		(0)		(0)

ние этого дифференциального уравнения с учетом начальных условий имеет вид

S (x) 14 ex 14 e x 12 cos x.

Используя определение ch x , запишем окончательно

S (x)	1	(ch x cos x),	x .
	2

133

Приложение 1

Задача П1.1. Найти частичную сумму ряда


										cos k,							.
										k 1
Решение. Запишем
											n
							Sn ( ) cos k,													n .
											k 1
																	n
Если 2 m, m ,										то Sn ( ) 1 n.
																	k 1
Если	2 m,					m , то умножим обе части выражения для
Sn ( ) на sin					0 и воспользуемся формулой
			2
	cos k sin									1							1							1
	cos k sin						2			2	sin k						2	sin k						2	.
							2			2							2							2
Получим
														n
					Sn ( ) sin							cos k sin
											2		k 1									2
					n	1							1		sin							1
						2		sin k					2		sin					k		2
					k 1	2							2									2
				1				3	sin										5		sin		3
					sin			2	sin				2				sin		2		sin		2
				2				2					2						2				2
		7	sin			5				...									1						1
sin		2	sin			2				...		sin				n			2	sin			n
		2				2													2						2
													134

sin

cos

(n 1)

sin

Таким образом,

n Sn ( ) n,

если 2 m,

m , и

cos

(n 1) sin

Sn ( )

sin

если 2 m,

m .

Задача П1.2. Найти частичную сумму ряда

sin k,

k 1

Решение. Запишем

Sn ( ) sin k,

n .

k 1

Если 2 l,

l ,

то

Sn ( ) 0 0.

k 0

Если 2 l,

l ,

то умножим и разделим выражение для

Sn ( ) на 2sin

0 и внесем 2sin

под знак суммы. Тогда

sin k

Sn ( ) sin k

2sin

k 1

2sin

k 1

cos k

2 sin

k 1

cos

2 sin

135

cos

...

cos

sin

(n 1)

sin

cos

2sin

sin

Таким образом, n Sn ( ) 0,

если 2 l,

l , и

sin

(n 1) sin

Sn ( )

sin

если 2 l,

l .

Задача П1.3. Найти частичную сумму ряда

( 1)k cos k,

k 1

Решение. Запишем

Sn ( ) ( 1)k cos k,

n .

k 1

Если (2 p 1),

p , то

Sn ( ) ( 1)

1 n.

k 1

Если (2 p 1),

p , то заменим

( 1)k

на

cos k

и запи-

шем

Sn ( ) ( 1)k cos k

cos k cos k.

k 1

Воспользуемся формулой

cos k cos k 1

[cos k ( ) cos k ( )]

136

и ранее полученным выражением для частичной суммы ряда


														cos k
														k 1
(см. задачу П1.1).
Получим
								n														n
			Sn ( )				1	cos k ( )														1 cos k ( )
							2 k 1															2 k 1
	cos (n 1)( )							sin n( )											cos (n 1)( ) sin n( )
				2								2												2						2
				2sin																				2sin
				2sin																				2sin
							2																						2
		1				(2n 1)( )											sin						sin				(2n 1)( )
				sin
				sin					2													2							2
		4cos							2													2							2
			2
								1															n						(2n 1)
	sin										2cos									sin
	sin		2								2cos							2		sin						2			2
			2				4cos											2								2			2
							4cos		2
									2
							sin				n								(2n 1)
							sin				n					2						2
																2						2
				1																	n cos			(2n 1)
								2cos							2cos
								2cos				2			2cos													2
				4cos								2																2
							2
							1														n		(2n 1)
										cos								( 1)				cos
										cos					2			( 1)				cos		2
					2cos										2									2
								2													(2n 1)
										1			( 1)				n	cos			(2n 1)
										1			( 1)					cos				2			.
										2								2cos							.
																		2cos				2
Таким образом,							n Sn ( ) n,															если (2 p 1),								p , и

137

		1		( 1)	n	cos		(2n 1)
Sn ( )		1		( 1)		cos			2		,
Sn ( )		2				2 cos					,
		2
если (2 p 1), p .									2
если (2 p 1), p .
Задача П1.4. Найти частичную сумму ряда

	( 1)k sin k,						.
	k 1
Решение. Запишем
		n
Sn ( ) ( 1)k sin k,									n .
	k 1
Если (2q 1),	q ,		то
				n
	Sn ( ) 0 0.
				k 1
Если (2q 1),	q ,		то заменим ( 1)k							на cos k и запишем
	n						n
Sn ( ) ( 1)k			sin k cos k sin k.
k 1							k 1

Воспользуемся формулой

cos k sin k 12 sin k ( ) sin k ( )

и ранее полученным выражением для частичной суммы

sin k

k 1

(см. задачу П1.2). Получим

	1	n	1	n
Sn ( )		sin k ( )		sin k( )
	2 k 1		2 k 1

138

	sin	(n 1)( )										sin n( )															sin			(n 1)( )								sin n( )
	sin											sin n( )															sin											sin n( )
					2														2														2							2
						2 sin																											2sin
						2 sin																											2sin
											2																										2
							1																		cos					(2n 1)( )
															cos
															cos					2													2
							4cos													2													2
											2
																(2n 1)( )																	1
	cos									cos																											2sin
	cos						2			cos											2																2sin			2
							2														2											4 cos								2
																																			2
					n									(2n 1)										cos							n				(2n 1)
	cos				n				2								2							cos							n		2				2
									2								2																2				2
	1																		n					(2n 1)													n		(2n 1)
				2sin									sin																			sin
				2sin						2			sin															2				sin								2
	4cos									2																		2												2
	4cos		2
			2
							1															2cos n sin											(2n 1)
													2sin
													2sin							2															2
						4cos														2															2
										2
										1													( 1)n sin									(2n 1)
															sin
															sin					2														2
								2cos												2														2
													2																		(2n 1)
														1								( 1)				n		sin			(2n 1)
														1		tg						( 1)						sin				2				.
														2		tg		2																		.
																												2cos				2
Таким образом, n Sn ( ) 0,																													если (2q 1),											q , и
																	1								( 1)n sin (2n 1)
								Sn ( )									1	tg																2				,
								Sn ( )									2	tg												2cos								,
																	2
																																	2

если (2q 1), q .

139

Приложение 2

Формула Валлиса

Покажем сначала, что

/ 2

(m 1)!! , m 2n;

Im sinm x dx

m!!

(П2.1)

(m 1)!!

, m 2n 1.

m!!

В формуле (П2.1) индекс n .

Заметим, что

sin x dx 1.

dx ,

При m 2 интегрируя по частям, получим

/ 2

0 /2

sinm x dx

sinm 1 x d ( cos x) sinm 1 x cos x

/ 2

(m 1) sinm 2

x cos2 x dx (m 1)

sinm 2

x (1 sin2 x) dx

(m 1)Im 2 (m 1)Im ,

откуда

m 1

Im 2 ,

m 2.

Поэтому при m 2n 1 имеем

2n 1

...

2n(2n 2) ... 2

(2n)!!

2n 1

(2n 1)(2n 1) ... 1

(2n 1)!!

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ

#
17.05.20241.97 Mб42Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013.pdf
#
17.05.20241.47 Mб8Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013.pdf
#
17.05.202418.7 Mб3PrilepkoAI_Tenzornaya_algebra_i_samosopryazhennye_operatory.pdf
#
17.05.20241.91 Mб2Sandakov_Nachala_tenzornogo_ischisleniya_Metodicheskie_rekomendacii_2009.pdf
#
17.05.2024947.59 Кб20Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021.pdf
#
17.05.2024951.32 Кб0Zadania_na_ekvivalentnost_Ryady.pdf
#
17.05.20244.66 Mб1АнтиДем3сем.pdf
#
29.01.202460.8 Mб1Билеты ВТА.pdf
#
15.01.202517.23 Кб1ВТА Вопросы 2024 Гришин С.А..docx
#
17.05.2024132.89 Кб5Ряды.pdf