Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

947.59 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

Решение. Исследуем исходный знакочередующийся ряд

		n 1			n 1		1
	( 1)	n 1	bn	( 1)	n 1		1
	( 1)		bn	( 1)		ln 1
n 1			n 1				n

на абсолютную сходимость. Так как

	1	1
bn ln 1		n
	n	n

при n , то по теореме 2.4 ряд из модулей расходится. Исходный ряд

( 1)n 1 bn

n 1

сходится по признаку Лейбница: во-первых,

	1	0	n ;
bn ln 1	n	0	n ;
	n

во-вторых, так как

b	ln	1	1	ln	1	1	b	,

n			n			n 1	n 1

то последовательность bn монотонно убывает; в-третьих,

lim b		lim ln	1	1	0.
n	n	n		n
n		n		n

Таким образом, исходный ряд сходится условно. Положим

		1
S		1
S	( 1)n 1 ln 1	n
n 1		n

и вычислим точно величину S. С этой целью для произвольного n рассмотрим частичную сумму

2n								1		2			3		4		5
S2n ( 1)k 1					ln						ln			ln		ln		...
							1	k	ln	1			2		3		4
k 1
		2n				2n 1						4				2n
ln				ln				ln 2		ln			... ln
	2n		1				2n					3				2n 1

121

( 1)n xn 1

	3			5					2n 1								4			2n
ln		ln			... ln								ln	2				...
ln	2	ln		4	... ln						2n		ln	2			3	...		2n 1
	2			4							2n						3			2n 1
ln	3		5	...		2n 1				ln			(2n)!!			ln			(2n 1)!!

			4			2n							(2n 1)!!						(2n)!!
	2		4			2n							(2n 1)!!						(2n)!!
								1					(2n)!!		2
					ln												.
					ln		2n					(2n 1)!!					.
							2n				1	(2n 1)!!

Воспользуемся формулами (2.5) и запишем

(2n)!!

(2n n!)2

(2n)!

2n 1 (2n 1)!!

2n 1

Применяя теперь формулу Стирлинга (2.3), получим, что

n 2n

n!)

2n (n!)

2 n

n ,

(2n)!

4 n

и, значит,

lim

(2n n!)2 2

lim

(2n)!

2n 1

В силу доказанной выше сходимости изучаемого ряда его сумма

(2n)!!

S lim S2n lim ln

2n 1

(2n 1)!!

Задача 7.5. Найти сумму числового ряда

( 1)n

n 2 n2 n 2 .

Решение. Рассмотрим вспомогательный степенной ряд

n 2 n2 n 2 .

122

Разлагая дробь

n2 n 2

на сумму элементарных дробей, получим

n2 n 2

(n 1)(n 2)

n 1

3 n 2

Тогда, привлекая формулу (6.10), запишем

( 1)n xn 1

( 1)n xn 2

n 1

n 2

3 n 2

n 2

ln (1 x)

ln (1 x) x

, 0

При x 0 сумма ряда равна нулю.

Применяя метод Абеля (теорема 7.2), находим

( 1)n

( 1)n xn 1

lim

ln (1

n 2

x 1 0 n 2

x 1 0

ln (1 x) x

3 ln 2

3x3

Задача 7.6. Найти сумму числового ряда

( 1)

(2n 1)

n 1 3

Решение. Рассмотрим вспомогательный степенной ряд

( 1)

2n 1

... S(x).

2n 1

n 1

Этот ряд сходится при x [ 1,1]. Его сумма S (x) определена и непрерывна на отрезке [ 1,1], а также дифференцируема на интервале ( 1,1). Дифференцируя ряд почленно, получим

(x) ( 1)

( x

)

1 x

n 1

123

Интегрируя почленно и учитывая теорему 7.2, имеем

		x					x		t2
S (x) S(0)			S (t) dt											dt arctg x x,								x	1.
								1 t				2		dt arctg x x,								x	1.
												2
		0					0
		0					0
В частности, при x				1		[ 1,1]		находим
В частности, при x			3			[ 1,1]		находим
			3
		( 1)			n						(		1)			n	x	2n 1
					n											n		2n 1
							3
	3	n					3								2n 1						1
n 1	3	(2n 1)							n 1						2n 1					x	1
							1			1								3		x	3
							1			1								3	1.
				3 arctg														6
				3 arctg			3				3
							3				3

Задача 7.7 (начало разобрано в задаче 3.8). В задаче 3.8 было показано, что исходный знакопеременный числовой ряд

1 12 13 14 15 16 17 18 19 101 111 121 ...

сходится условно, и его сумма равна

	( 1)	k 1		( 1)	k 1		( 1)	k 1
S	( 1)			( 1)			( 1)		1 2 3.
k 1	3k 2		k 1	3k 1		k 1	3k

Решение (продолжение). Найдем по отдельности сумму каждого из записанных рядов.

Определим сумму 3 ряда

( 1)k 1 .

k 1 3k

Рассмотрим вспомогательный степенной ряд

			( 1)	k 1
			( 1)	xk .
		k 1	k
Так как		k 1
	( 1)	k 1
	( 1)	xk	ln (1 x),		1 x 1,
k 1	k

то применяя метод Абеля (теорема 7.2), находим

124

( 1)

k 1

1 lim

( 1)

k 1

1 ln 2.

lim

ln (1 x)

k 1

3 x 1 0 k 1

3 x 1 0

Найдем сумму 2

ряда

( 1)

k 1

( 1)

3k 1

k 1

k 0

Рассмотрим вспомогательный степенной ряд

( 1)

2 (x)

x3k 2 ,

1 x 1.

k 0

Дифференцируя ряд почленно, получим

2 (x) ( 1)k x3k

1 x ( 1)k x3k x ( x3 )k

k 0

1 x 1.

Интегрируя почленно, имеем

2 (x) 2 (0)

2 (t) dt

dt,

1 x 1.

1 t3

Разлагая подынтегральную функцию

на сумму элементарных

1 t3

дробей, получим

1 t

1 t3

(1 t)(1

t t2 )

t t2

Отсюда

1 x

(x)

1 t

1 t t

1 t

1 1 x

2t 1

3 x

2 0 1

3 2 0

1 t t

t t

1 t

125

						1			1			t t2 )										2t 1				ln (1 t)				x
						1			1													2t 1								x
						3			2	ln (1								3 arctg
										ln (1								3 arctg						3
																								3						0
		1	1						x x2 ) 3 arctg										2x 1			ln (1 x)								0	1
		1	1																2x 1												1
		3	2	ln (1																									3 arctg			,
				ln (1																3									3 arctg		3	,
																				3											3
																	1 x 1.
Применяя метод Абеля (теорема 7.2), находим
													( 1)	k 1									( 1)				k
								2					( 1)					lim					( 1)					x3k 2
								2					3k		1			lim					3k				2	x3k 2
											k 1		3k		1			x 1 0 k 0					3k				2
	1	lim			1		ln (1 x x2 )									3 arctg				2x 1				ln (1 x)						3 arctg		1
					2
																					3											3
	3 x 1 0																				3											3
											1										1
											3		2 3	6		ln 2					3				ln 2 .
													2 3			ln 2								3	ln 2 .
																								3

Совершенно аналогично находим сумму 1 ряда

( 1)k 1 . k 1 3k 2

Получаем

									( 1)k 1						1
			1																ln 2 .
			1							3k		2			3		3		ln 2 .
							k 1			3k		2			3		3
Окончательно, имеем
S						1						ln 2				1					ln 2		1 ln 2
S	2				3	1						ln 2									ln 2		1 ln 2
1	2				3		3				3							3					3
							3				3					3		3					3
											1	2		ln
											3					2	.
																2	.
												3
7.2. Суммирование функциональных рядов
Задача 7.8. Найти сумму ряда
		1		2x								(2n 3)!!						2x				2n 1
																						.
		2	1 x				2						(2n)!!				1 x			2		.
		2	1 x					n 2					(2n)!!				1 x

126

Решение. Убедимся в том, что исходный функциональный ряд сходится при любом x ( , ).

Если x 0, то сумма ряда S (x) равна нулю, т.е. S (0) 0.

Если x 0, то, обозначив																									2x						t , где						0							t			1,			получим ряд
																									2x
																						1 x2
			(2n 3)!! t																			1 x2																			1 t				2				1 t4					1		t6	...
1 t																1 t						1 t3							1																									1
																																																					16
									2n 1																							t5		...						2									8				16
									2n 1																							t5		...																	t
2	n 2		(2n)!!													2						8							16																						t
				1		2			1			4				1					6														1			t	2						1		t	4		1		t		6
		1 1			t						t									t			...							1 1																									...
																																			2										8					16
				2					8						16
				2					8						16																																											.
									t																																					t												.
									t																																					t
Используя формулу (6.19), запишем
				1			1	t		2				1	t	4						1			t	6		...						1 t				2	,						t			1,
							1			2				1		4						1				6												2
откуда							2							8							16
							2							8							16

																(2n 3)!! t2n 1 1																							1 t							2
							1 t									(2n 3)!! t2n 1 1																							1 t							.
							2						n 2						(2n)!!																				t
Таким образом, при x 0 сумма исходного ряда равна
										1				2x													(2n 3)!!											2x							2n 1
				S (x)
				S (x)						2 1 x							2											(2n)!!															2
										2 1 x												n 2						(2n)!!						1 x
																	2x							2
					1					1																			1 x				2					(x			2			1)				2
					1					1																							2								2							2
															1 x2
														2x																					2x
														2x																					2x
													1 x2																1
							1 x					2				x		2		1												при						x			1;
												2						2

																												x
														2x														x
																																при				0						x					1.

																												x
																												x

В последней формуле (нижняя строка) ограничение x 0 можно снять, так как S (0) 0.

127

Задача 7.9. Найти сумму ряда

( 1)n 1 x2n . n 1 n (2n 1)

Решение. Обозначим сумму данного ряда через S(x). Эта функция определена при x 1. Дифференцируем исходный ряд

почленно дважды (в интервале сходимости согласно теореме 6.7 степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз). Используя формулу (6.14), получаем

( 1)n 1 x2n 1

S (x) 2

2n 1

n 1

(x) 2

( 1)

n 1

2n 2

( x

)

n 1

1 x

n 1

Отсюда последовательным интегрированием по x дважды, находим

		x		x		dt
		S				dt		2arctg x,
							2
S (x) S (0)			(t) dt 2		1	t	2
		0		0	1	t
		0		0
x		x
S (x) S(0)		arctg t dt 2x arctg x ln (1 x							2	),	x	1.
									2
	S (t) dt 2

0		0

Отметим, что поскольку исходный степенной ряд сходится на концах интервала сходимости, т.е. в точках x 1, то согласно второй

теореме Абеля последнее соотношение справедливо при x 1. Задача 7.10. Найти сумму ряда

2n 2

...

... .

2n 1

n 1

Решение. Пусть сумма данного ряда равна S (x) , т.е.

S (x) x4

x10

...

x2n 2

...

2n 1

...

x2n 1

...

S (x),

2n 1

128

Дифференцируя почленно ряд

x2n 1

S1 (x) n 1 2n 1

внутри интервала сходимости, получим (см. формулу (6.15))

S1 (x) 1 x2 x4 x6 ... x2n ... 1 1x2

Интегрируя почленно, находим

S1 (x) S1 (0)

S1(t) dt

1 ln

1 t2

откуда

S (x) x3S (x)

1 x

ln 1 x ,

1 x

,x 1.

1 x ,

1 x

x 1.

Отметим, что знак модуля можно снять, так как

1	x	0	при 1 x 1.
1	x

Задача 7.11. Найти сумму ряда

( 1)n 1 n2 xn x 4x2 9x3 16x4 25x5 ... .

n 1

Решение. Пусть сумма ряда равна S (x) , т.е.

S (x) x 4x2 9x3 16x4 25x5 ...,		x		1.

Левую и правую части последнего соотношения делим на x ( x 0 ), затем почленно интегрируем

	x	S(t)		x
			dt	(1 4t 9t2 16t3 25t4		...) dt

	0	t		0

x 2x2	3x3 4x4			5x5 ... (2x 3x2	4x3 5x4 6x5 ...)
(x x2	x3 x4 x5 ...) (x2 x3 x4				x5	x6 ...)	x
							1 x

129

Дифференцируя, находим, что

S(x)

1 x

или

(1 x)3

x(1 x)

S (x)

(1 x)3

Отметим, что ограничение x 0 можно снять.

Задача 7.12. Найти сумму ряда

... .

n(n 1)

1 2

2 3

3 4

4 5

n 1

Решение. Дифференцируя данный ряд почленно внутри интервала сходимости, имеем

1	x	x2	x3	... S(x),	1 x 1,
2	3	4	5

где S (x) – сумма полученного ряда. Умножив правую и левую части последнего равенства на x2 ( x 0 ), запишем

		x2	x3	x4		x5			... x2 S(x),
														1 x 1.
	2		3	4		5								1 x 1.
	2		3	4		5
Согласно формуле (6.10)
	ln (1 x) x						x	2		x3		x4	...,	1 x 1,
	ln (1 x) x					2				3		4	...,	1 x 1,
						2				3		4
поэтому ln (1 x) x x2						S (x), т.е.
		S (x)		1	ln (1 x)						,	x [ 1, 0) (0,1).
		S (x)		x							,	x [ 1, 0) (0,1).
				x				x2
При x 0	имеем S (0) 1/ 2.

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ

#
17.05.20241.97 Mб42Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013.pdf
#
17.05.20241.47 Mб8Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013.pdf
#
17.05.202418.7 Mб3PrilepkoAI_Tenzornaya_algebra_i_samosopryazhennye_operatory.pdf
#
17.05.20241.91 Mб2Sandakov_Nachala_tenzornogo_ischisleniya_Metodicheskie_rekomendacii_2009.pdf
#
17.05.2024947.59 Кб20Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021.pdf
#
17.05.2024951.32 Кб0Zadania_na_ekvivalentnost_Ryady.pdf
#
17.05.20244.66 Mб1АнтиДем3сем.pdf
#
29.01.202460.8 Mб1Билеты ВТА.pdf
#
15.01.202517.23 Кб1ВТА Вопросы 2024 Гришин С.А..docx
#
17.05.2024132.89 Кб5Ряды.pdf