Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

947.59 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

2 2x x

2x3

o(x

) 2 2x x

2x3

o(x

)

lim

x 0

x x

o(x

)

x 0

o(x

)

Задача 6.12. Вычислить

lim

ex sin x x(1 x)

x 0

Решение:

ex sin x x(1 x)

lim

x 0

o(x

)

o(x

)

x(1 x)

lim

x 0

x x2

o(x3 ) x(1 x)

lim

x 0

o(x3 )

1 .

lim

x 0

Задача 6.13. Вычислить

lim

ln 1

Решение. Если x ,

то

поэтому

ln 1

2x2

Запишем

		2		1			2		1	1			1
lim	x x		ln 1		lim	x x						o
				x						2x	2			2
x					x			x				x

111

		lim		1			1	.
		lim			o (1)		2	.
	x			2			2
Задача 6.14. Вычислить									x .
lim	x3/ 2			x 1		x 1 2			x .
x
Решение. Если x ,			то	1	0,	поэтому
				x
		1				1 1	1		1		1
x 1 x	1			x	1					o			,
x 1 x	1	x		x	1	2 x	8 x2			o			,
		x				2 x	8 x2			x2
		1				1 1	1		1		1
x 1 x	1			x	1					o		.
x 1 x	1	x		x	1	2 x	8 x2			o		.
		x				2 x	8 x2			x2

Запишем

lim

x3/ 2

x 1

x 1 2

1 1

lim

2 x

x 1

lim

8 x

2 x

8 x

3/ 2

lim

x x

3/2

2. Преобразование интегралов

Задача 6.15. Разложить в ряд Маклорена интеграл с переменным верхним пределом

x	t 2
e	2 dt.
0

112

Решение. Пользуясь формулой (6.7), при любом t запишем

n t

2 1

... ( 1)

...

( 1)

n 0

где ряд сходится равномерно на любом отрезке. Тогда

( 1)

( 1)n

t2n dt

n 0

n! 0

x2n 1

( 1)n

(2n

1) n!

n 0

Функция

(x)

e 2 dt

играет важную роль в теории вероятностей и называется нормиро-

ванной функцией Лапласа.

Итак, нормированная функция Лапласа представляется рядом Маклорена

	1				x	2n 1
(x)		( 1)n					,	x	.

				n
	2 n 0		2		(2n 1) n!

Задача 6.16. Представить в виде суммы числового ряда определенный интеграл

1	ln x		1 x2
				dx.
		x		dx.
0		x
0

Решение. При x 1 справедливо разложение

ln x			n	(2n 1)!! x2n 1
ln x	1 x2 x	( 1)		(2n 1)!! x2n 1
	n 1	(2n 1) (2n)!!

113

(см. задачу 6.9). Разделив полученный ряд на x, x 0 , и почленно проинтегрировав в пределах от 0 до 1, получим окончательно

1	ln x	1 x2	1		( 1)n (2n 1)!!
			dx 1			x2n dx
		x	dx 1		(2n 1) (2n)!!	x2n dx
0		x	0	n 1	(2n 1) (2n)!!

( 1)n (2n 1)!!

( 1)n

C2nn .

(2n 1)

(2n)!!

(2n 1)

n 1

n 0

n 1

Задача 6.17. Доказать равенство xx dx

( 1)n .

n 1

Решение. Запишем подынтегральную функцию в

виде

xx ex ln x . Разложив ее в степенной ряд относительно t x ln x

(см.

формулу (6.7)), получим

n 0

при любом x 0. Проинтегрируем этот ряд почленно в пределах от 0 до 1. Имеем

xx dx

xn lnn x dx.

n 0

Считая m {0}, n ,

и интегрируя по частям, получаем

Im, n xm lnn x dx

xm lnn 1

x dx

Im, n 1.

m 1

Полагая

полученной рекуррентной формуле последовательно

n = 1, 2, …, находим

m,1

m, 0

m, 2

m, 0

, ..., I

m, n

( 1)n

m, 0

(m 1)2

(m 1)n

114

Так как

Im, 0

xm dx

то

Im, n

( 1)n n!

m 1

(m 1)n 1

откуда

( 1)n

In, n

1)n 1

при любом n {0}.

Таким образом,

n 1

xx dx

( 1)

( 1)n .

n 1

n 0

(n 1)

n 1

115

7. Некоторые методы нахождения сумм числовых и функциональных рядов

Теорема 7.1 (вторая теорема Абеля). Пусть R – радиус сходи-

мости степенного ряда

an (x x0 )n .

n 0

Если ряд сходится в точке x x0 R ( x x0 R ), то его сумма S (x) является функцией, непрерывной в точке x x0 R

( x x0 R ), т.е.


S (x0 R) lim			S(x)	an Rn
		x x0 R	0	n 0
	R)	lim
S(x0	R)	lim	S(x) an ( R)n .
		x x0 R 0	n 0

На второй теореме Абеля базируется следующий метод нахождения сумм числовых рядов.

Теорема 7.2 (метод Абеля). Если числовой ряд

n 0

сходится, то его сумма находится по формуле


S an	lim	an xn .
n 0	x 1 0	n 0
n 0		n 0

Аналогичные результаты справедливы для общих степенных рядов в комплексной плоскости с заменой интервала сходимости на круг сходимости, а концевых точек интервала сходимости на точки граничной окружности. Будем далее использовать эти факты.

116

7.1. Суммирование числовых рядов

Задача 7.1. Найти сумму числового ряда

cos n .

Решение. Известно, что

n 0

ez ,

z .

n 0

В частности, для z ei cos1 i sin1 имеем

eei ecos1 i sin1 ecos1 (cos (sin1) i sin (sin1)).

n 0

Отделяя вещественную часть, запишем

cos n

ecos1

cos (sin1).

n 0

Отметим, что отделение мнимой части дает

sin n

ecos1 sin (sin1).

n 0

Задача 7.2. Найти сумму числового ряда

(2n 3)!! cos n.

n 2

(2n)!!

Решение. В стандартный биномиальный ряд (см. общую формулу (6.13), действующую и для комплексной переменной)

(1 t)m 1 m(m 1)...(m n 1) tn

n 1

подставим m 1 / 2,

t z. Тогда в круге

1 имеем разложение

2n 3

...

(2n 3)!! zn .

1 z 1

( z)n

n 1

n 2

(2n)!!

117

(Здесь, как обычно, под 1 z понимается та ветвь корня, для которой 1 z z 0 1 ; см. также (6.19).)

Подставляя сюда точку z ei , лежащую на единичной окружности, находим

						1 ei 1 e					i					(2n					3)!! ein
						1 ei 1 e										(2n					3)!! ein				,
или										2		n 2						(2n)!!
или																	i
						(2n 3)!! ein						1 e					i				1 ei .
						(2n 3)!! ein						1 e									1 ei .									(7.1)
					n 2		(2n)!!								2
Извлекая нужное значение корня из комплексного числа
		1 e		i	(1 cos1) isin1							2sin				2		1		2i sin				1	cos	1
		1 e			(1 cos1) isin1							2sin						2		2i sin				2	cos	2
																		2			1i			2		2		1i
	2i sin		1			1	isin		1			2sin		1			e		i		1i		2sin			1	e	1i		,
	2i sin		2		cos	2	isin		2			2sin		2			e				2 e2		2sin			2	e	2		,
			2			2			2					2												2
получим
					1 e	i		2sin		1			1						i sin			1
					1 e			2sin		cos					4				i sin				4		.
										2					4								4
Поэтому правая часть (7.1) преобразуется к виду
1	ei	1 e		i	1	1	(cos1 i sin1)								2sin						1			1		i sin			1
1	2	1 e			1	2	(cos1 i sin1)								2sin						cos				4	i sin				4	.
	2					2															2				4					4

Приравнивая теперь вещественные части в (7.1), находим сумму исходного ряда

	(2n 3)!! cos n 1	1 cos1		1		1.
	(2n 3)!! cos n 1	1 cos1	2sin	1	cos	1.
n 2	(2n)!!	2		2		4

Аналогично, приравнивая мнимые части (7.1), находим сумму ряда

	(2n 3)!! sin n 1	1 sin1		1		1.
	(2n 3)!! sin n 1	1 sin1	2sin	1	sin	1.
n 2	(2n)!!	2		2		4

118

Задача 7.3. Найти суммы числовых рядов:

		1
а)	arctg	1	;
а)	arctg	2	;
	n 1	2n

б)	arcctg (n2 n 1).
	n 1
Решение.
а) Используя формулу
		arctg x arctg y arctg		x y	,	xy 1,
		arctg x arctg y arctg		1 xy	,	xy 1,
				1 xy

выпишем первые частичные суммы исходного ряда:

S arctg 1		,	S	2	arctg 2	,	S	3	arctg 3	, ... .
1	2			2	3			3	4

Применяя метод математической индукции, докажем формулу

n	1			n
Sn arctg			arctg		,	n .	(7.2)
	2k	2		n 1
k 1

При n 1 имеем S1 arctg 12 , что согласовано с (7.2). Допустим

справедливость формулы (7.2) при некотором n . В таком случае для (n + 1)-й частичной суммы исходного ряда получим

Sn 1 Sn arctg

arctg

2(n 1)2

n 1

2(n

1)2

n 1

2(n 1)2

(n 1)(2n2

2n 1)

arctg

(n 2)(2n2

2n 1)

n 1

2(n 1)2

и, следовательно, формула (7.2) верна при всех n .

Но тогда

arctg

lim Sn lim arctg

arctg 1

n 1

119

б) Используя формулу

arcctg x arcctg y arcctg	xy 1	,	xy 1,
	x y

выпишем первые частичные суммы исходного ряда: S1 arcctg 3,

S2	arcctg 2,	S3	arcctg 5	, .... Применяя		метод		математической
			3
индукции, докажем формулу
		n				n 2
	Sn arcctg (k2			k 1)	arcctg	n 2	,	n .	(7.3)
		k 1				n

При n 1 имеем S1 arcctg 3, что согласовано с формулой (7.3).

Допустим справедливость формулы (7.3) при некотором значении n . В таком случае для (n + 1)-й частичной суммы исходного ряда получим

Sn 1 Sn arcctg ((n 1)2 n 2) arcctg n 2 n

n 2

(n2 3n 3) 1

arcctg (n

3n 3) arcctg

n 2

(n2 3n 3)

arcctg

(n 2)(n2 3n 3) n

arcctg

(n 3)(n2

2n 2)

(n 2)

n(n2 3n 3)

(n 1)(n2

2n 2)

arcctg

n 3

n 1

и, следовательно, формула (7.3) верна при всех n .

Но тогда

arcctg (n2 n 1) lim Sn lim arcctg n 2 arcctg 1

n 1

Задача 7.4. Доказать, что числовой ряд

n 1

( 1)

ln 1

n 1

сходится условно, и найти его сумму.

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ

#
17.05.20241.97 Mб42Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013.pdf
#
17.05.20241.47 Mб8Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013.pdf
#
17.05.202418.7 Mб3PrilepkoAI_Tenzornaya_algebra_i_samosopryazhennye_operatory.pdf
#
17.05.20241.91 Mб2Sandakov_Nachala_tenzornogo_ischisleniya_Metodicheskie_rekomendacii_2009.pdf
#
17.05.2024947.59 Кб20Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021.pdf
#
17.05.2024951.32 Кб0Zadania_na_ekvivalentnost_Ryady.pdf
#
17.05.20244.66 Mб1АнтиДем3сем.pdf
#
29.01.202460.8 Mб1Билеты ВТА.pdf
#
15.01.202517.23 Кб1ВТА Вопросы 2024 Гришин С.А..docx
#
17.05.2024132.89 Кб5Ряды.pdf