Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

947.59 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

При x 0 все члены ряда равны нулю.

Зафиксируем произвольное x 0 и рассмотрим числовые ряды

un (x) arctg

vn (x)

n n

n 1

Согласно теореме 2.4 числовой ряд

сходится (

1).

Так как

n 1

arctg

при n ,

то исходный функциональный ряд

arctg

n 1

сходится на множестве X .

Запишем ряд производных

n n

un (x)

n 1

Члены ряда un (x) , n , непрерывны на множестве X .

Кроме

того, x X

и n

un (x)

n n

x2 n3

т.е. члены ряда производных

n n

un (x)

n 1

мажорируются соответствующими членами сходящегося числового ряда

			1
	cn		1	.
	cn		n	.
	n 1	n 1 n	n

Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд					un (x) сходится абсо-
лютно и равномерно на	X .				n 1
лютно и равномерно на	X .	Согласно теореме 5.16 исходный
функциональный ряд	можно	почленно			дифференцировать на
X .

6.Степенные ряды

6.1.Радиус и интервал сходимости степенного ряда

Определение 6.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

ak (x x0 )k a0 a1 (x x0 ) a2 (x x0 )2 ... ak (x x0 )k ..., (6.1)

k 0

где ak – заданные действительные числа, называемые коэффициентами ряда; x0 – произвольное действительное число.

В случае x0 0 степенной ряд (6.1) имеет вид


ak xk a0 a1x a2 x2 ... ak xk ... .	(6.2)

Ктакому виду степенной ряд (6.1) приводится заменой переменной x x0 t (с последующим изменением обозначения новой пере-

менной t на x).

Теорема 6.1. Для степенного ряда (6.1) существует R ( R 0 –

число или символ ),

называемое радиусом сходимости,

такое,

что при R 0, ряд

ak (x x0 )k

k 0

сходится абсолютно,

если

x x0

и расходится,

если

x x0

R. При

x x0

R требуется дополнительное исследова-

ние (в точках x x0 R и x x0

R ряд может или сходиться, или

расходиться).

Определение 6.2. Интервал ( x0 R, x0

R ) называется интер-

валом сходимости степенного ряда (6.1).

Если R 0, то степенной ряд (6.1) сходится только в точке x0 , а если R , то на всей числовой оси.

Теорема 6.2 (первая теорема Абеля). Если степенной ряд (6.2)

сходится в некоторой точке x1 0, то он сходится абсолютно при любом x, удовлетворяющем условию x x1 .

Следствие 6.1. Если степенной ряд (6.2) расходится в точке x2 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию x x2 .

Теорема 6.3. Пусть R – радиус сходимости степенного ряда

ak (x x0 )k .

k 0

Если существет (конечный или бесконечный)

lim

ak 1

то

R lim

ak 1

В общем случае справедлива формула Коши–Адамара

, или

lim

lim k

Замечание 6.1. Для степенного ряда (6.1), записанного в виде

un (x)

amn (x x0 )mn ,

amn 0, n ,

n 0

n 1

(номера mn образуют

возрастающую

последовательность) при

нахождении радиуса и интервала сходимости можно попытаться применить непосредственно признак Даламбера или признак Коши. При таком подходе интервал сходимости находят из неравенств:

lim	un 1(x)	1,	(6.3)
n	un (x)

lim n	un (x)	1.	(6.4)
lim n	un (x)	1.	(6.4)
n
n

Таким образом, радиус и интервал сходимости степенного ряда можно находить или пользуясь признаками Даламбера и Коши (если они применимы), или использовать формулы для радиуса сходимости (в частности, формулу Коши–Адамара), приведенные в формулировке теоремы 6.3.

Теорема 6.4. Пусть радиусы сходимости степенных рядов


an (x x0 )n	и bn (x x0 )n
n 0	n 0

равны R1 и R2 соответственно. Тогда радиус сходимости R степенного ряда

(an bn )(x x0 )n

n 0

удовлетворяет условию R min{R1, R2 }, если R1 R2 .

Задача 6.1. Определить радиус, интервал и множество сходимости степенного ряда

(x 1)n(n 1)

n 1 nn .

Решение.

1-й способ. Применим признак Коши (см. формулу (6.4)), полагая

un (x) (x 1)n(n 1) . nn

Здесь mn n(n 1), am

, n . Тогда

un (x)

x 1

n 1

x 1

0, если

un (x)

lim n

lim

x 1

, если

Отсюда R 1, интервал сходимости ряда 0 x 2, множество схо-

димости – отрезок 0 x 2.

2-й способ. Применим формулу Коши–Адамара к исходному ря-

ду

						(x 1)n(n 1)
		ak (x 1)k		amn (x 1)mn		n	n	,
		k 0		n 1	n 1	n
где
0,			если k mn ;
				mn n(n 1),	n , k = 0, 1, 2, … .
ak	1		, если k m ,	mn n(n 1),	n , k = 0, 1, 2, … .
		n	, если k m ,
		n	n
n

Видно, что бесконечное число коэффициентов ak обращается в

нуль. Такие степенные ряды называются лакунарными. Имеем

lim mn

lim

n n 1 n

откуда R 1.

Задача 6.2. Определить радиус, интервал и множество сходимости степенного ряда

n(n 1)/2

n 1

Решение. В точке x 0

ряд сходится. При x 0 применим при-

знак Даламбера (см. формулу (6.3)), полагая

un (x)

xn(n 1)/ 2

, un 1

(x)

xn(n 1)/2

1)!

Тогда

un 1 (x)

n(n 1)/2

0, если

lim

, если

(n 1)! xn(n 1)/2

(x)

n n 1

Отсюда R 1, интервал сходимости 1 x 1, множество сходимости – отрезок 1 x 1.

Отметим, что к данному лакунарному степенному ряду можно было, как в задаче 6.1, применить формулу Коши–Адамара, но приведенный выше способ технически проще.

Задача 6.3. Определить радиус, интервал и множество сходимости степенного ряда

где p .

Решение. Так как

lim	an	lim
	an 1
n		n

то для любого p имеем

n 1 n p ,

(n 1) p		1	p	1,
n p	lim 1	n		1,
n p	n	n

R 1, интервал сходимости ( 1,1).

Исследуем поведение степенного ряда на концах интервала сходимости.

При x 1 получаем знакочередующийся числовой ряд

				n
		( 1)p ,
		n 1	n
который сходится абсолютно, если					p 1;	условно, если 0 p 1;
расходится, если p 0 (см. задачу 3.5).
При x 1 получаем числовой ряд
			1
			1	,
			p	,
		n 1	n
который сходится при		p 1; расходится,				если	p 1 (см. задачу
2.13).
Окончательно имеем:
а) если	p 1, то множество сходимости – отрезок [ 1,1];
б) если	0 p 1, то	множество			сходимости		– полуинтервал
[ 1,1);

в) если p 0 , то множество сходимости – интервал ( 1,1).

Задача 6.4. Найти радиус, интервал и множество сходимости степенного ряда

(n!)

xn .

n 1

(2n)!

Решение. Так как

lim

(n!)

(2n 2)!

an 1

(2n)!

[(n 1)!]2

lim

(2n 1)(2n 2)

lim

4n2 6n 2

(n 1)2

n2 2n 1

то R 4, интервал сходимости

( 4, 4). Исследуем поведение сте-

пенного ряда на концах интервала сходимости.

При x 4 получаем числовой ряд

(n!)

4n .

n 1

(2n)!

Пользуясь формулой Стирлинга (см. замечание 2.2), запишем

				n	2n
	(n!)	2		2 n
cn	(n!)		4n	e		4n	n
cn	(2n)!		4n	2n 2n		4n	n
	(2n)!			2n 2n
				4 n
				e

при n . Таким образом,

lim cn 0,

т.е. согласно следствию 1.1 из теоремы 1.3 ряд расходится. При x 4 получаем знакочередующийся числовой ряд

		(n!)	2
cn		(n!)		( 1)n 4n ,
n 1	n 1	(2n)!

который расходится, так как

lim	c	lim	c .

n	n	n	n

Таким образом, множество сходимости – интервал ( 4, 4).

Задача 6.5. Найти радиус, интервал и множество сходимости степенного ряда

n 1

Решение. По формуле Коши–Адамара

lim

1 n

lim

R n

Отсюда R

, интервал сходимости

Исследуем поведение степенного ряда на концах интервала сходимости.

При x 1e получаем числовой ряд

			1	n2	1
cn
		1					.
			n		e	n
n 1	n 1

Покажем, что nlim cn 0. В самом деле, запишем

1 n2

cn 1

exp n

ln 1

exp

2n2

т.е.

nlim cn 1e 0.

Таким образом, в точке x 1e ряд расходится.

При x 1

получаем знакочередующийся ряд

( 1)n

n 1

который расходится, так как lim

не существует.

Таким образом, множество сходимости – интервал

Задача 6.6. Найти радиус, интервал и множество сходимости степенного ряда

3 ( 1)n n

xn .

n 1

Решение. Коэффициент ряда имеет вид

22k 1

n 2k 1;

k .

42k

n 2k,

Рассмотрим степенные ряды

an xn

и bn xn ,

n 1

где

22k 1

n 2k 1;

k .

2k 1

n 2k,

Тогда

3 ( 1)n n xn ,

cn an bn

и (an bn )xn

причем

n 1

2k 1

an xn

x2k 1,

bn xn

x2k .

n 1

k 1

n 1

k 1

а) Рассмотрим лакунарный степенной ряд

2k 1

uk (x) 2

k 1

2k 1

Применим к ряду признак Даламбера (см. формулу 6.3)

lim

uk 1(x)

lim

22k 1 x2k 1 (2k 1)

lim

(2k 1) 4x2

4x2 .

uk (x)

(2k 1) 22k 1 x2k 1

2k 1

Ряд сходится абсолютно, если 4x2 1, или

1 .

Таким образом, радиус сходимости

интервал сходимо-

сти

1 ,

1 . В точках x

1 получаем расходящиеся числовые

1,2

ряды.

б) Рассмотрим лакунарный степенной ряд

vk (x)

k 1

Применим к ряду признак Даламбера (см. формулу (6.3))

	v	(x)		42k 2 x2k 2 2k		16x2 .

lim	k 1		lim
				(2k 2) 42k	x2k
k	vk (x)		k

Ряд сходится абсолютно, если 16x2 1, или x 14 .

Таким образом, радиус сходимости R2 14 , интервал сходимо-

сти	1	,	1	. В точках	x	1	получаем расходящиеся числовые
	4		4		3,4	4
	4		4			4

ряды.

К исходному ряду, представленному в виде суммы двух рядов, применим теорему 6.4. Из нее следует, что радиус сходимости ис-

ходного ряда равен R min {R , R } 1			, интервал сходимости
1	2	4
		4

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ

#
17.05.20241.97 Mб42Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013.pdf
#
17.05.20241.47 Mб8Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013.pdf
#
17.05.202418.7 Mб3PrilepkoAI_Tenzornaya_algebra_i_samosopryazhennye_operatory.pdf
#
17.05.20241.91 Mб2Sandakov_Nachala_tenzornogo_ischisleniya_Metodicheskie_rekomendacii_2009.pdf
#
17.05.2024947.59 Кб20Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021.pdf
#
17.05.2024951.32 Кб0Zadania_na_ekvivalentnost_Ryady.pdf
#
17.05.20244.66 Mб1АнтиДем3сем.pdf
#
29.01.202460.8 Mб1Билеты ВТА.pdf
#
15.01.202517.23 Кб1ВТА Вопросы 2024 Гришин С.А..docx
#
17.05.2024132.89 Кб5Ряды.pdf