Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

ЧАСТЬ II

Функциональные

последовательности и ряды

84 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

Здесь будут изучаться функциональные последовательности и ряды, то есть такие последовательности и ряды, элементами которых являются уже не числа, а функции. Мы ограничимся случаем функций, зависящих от одной действительной переменной x, хотя результаты, которые будут

получены, как правило, справедливы в более общем случае. Так же, как в случае числовых последовательностей и рядов, номер начального элемента функциональной последовательности или начальное значение индекса суммирования функционального ряда может быть как больше, так и меньше единицы.

5.Сходимость и равномерная сходимость

n=1

элементы которых fn(x) (и, соответственно, un(x)) некоторые функции одной переменной x.

5.1. Множество сходимости

Множество X называется множеством сходимости

функциональной последовательности (5.1) (функционального ряда (5.2)), если, во-первых, на множестве X для всех n

определены функции fn(x) определены функции un(x) è,

во-вторых, для каждого x0 2 X сходится числовая последо-

абсолютной и условной сходимости.

Пусть X множество сходимости функциональной последовательности ffn(x)g1n=1, то есть для всякого x 2 X ñó-

ществует lim fn(x). Этот предел, естественно, зависит от

n!1

точки x 2 X, поэтому обозначим его

f(x) = lim fn(x):

n!1

Функцию f(x) называют предельной функцией функцио-

Разумеется, если изучать лишь сходимость и величину предела (суммы) у последовательности (5.1) и у ряда (5.2) в фиксированной точке x 2 X, то при этом не будет ничего

нового по сравнению с изучением этих вопросов для числовых последовательностей и рядов с параметром x. Новиз-

на появляется, например, при изучении условий (достаточ- ных, необходимых) сохранения или появления тех или иных функциональных свойств у предельной функции функциональной последовательности либо суммы функционального ряда, таких как непрерывность, дифференцируемость и тому подобное.

x 2 (0; 1], то преобразуем формулу для fn(x) ê âèäó fn(x) =

x 2 (0; 1] по правилу Лопиталя).

Таким образом, в последних тр¼х примерах при предельном переходе непрерывность сохранилась, а в первых двух примерах нет.

5.2. Равномерная сходимость

Прежде чем говорить об этом новом понятии (равномерная сходимость), уточним понятие сходимости функцио-

x 2 X для любого " > 0 найд¼тся номер N, что для всех номеров n > N абсолютная величина jfn(x) f(x)j < ".

88 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

Поточечная сходимость функциональной последовательности обозначается так:

lim fn(x) = f(x); x 2 X; (5.3)

n!1

или, без знака предела,

Нетрудно видеть, что номер N, который найд¼тся для любого " > 0, и зависящий, естественно, от этого ", зависит также и от точки x множества X.

Теперь введ¼м понятие равномерной сходимости.

1

Функциональная последовательность n=1 íàçû- вается равномерно сходящейся на множестве X к функции

f(x), если для любого " > 0 найд¼тся номер N, что для всех номеров n > N и для всех x 2 X абсолютная величи- на jfn(x) f(x)j < ".

Равномерная сходимость функциональной последова-

Здесь мы видим, что номер N, по-прежнему зависящий от " > 0, уже от x 2 X не зависит и, следовательно, годится для всех точек x множества X сразу. Поэтому ес-

ли последовательность fn(x) 1

n=1 равномерно сходится на множестве X к функции f(x), то она сходится и поточечно,

ïðè÷¼ì к той же самой функции f(x). Это замечание нам понадобится в дальнейшем.

Если понятие равномерной сходимости функциональной

последовательности применить к функциональной последовательности Sn(x) 1n=1 частичных сумм функционального

1

ðÿäà P un(x), òî åñòü

n=1

Sn(x) = u1(x) + u2(x) + + un(x);

то получится понятие равномерной сходимости функцио-

нального ряда.

1

Функциональный ряд P un(x) называется равномерно

n=1

сходящимся на множестве X к функции S(x), если для любого " > 0 найд¼тся номер N, что для всех номеров n > N и для всех x 2 X абсолютная величина jSn(x) S(x)j < ".

Равномерная сходимость функционального ряда (подобно (5.5) и (5.6)) обозначается так:

n=1

X

ßñíî, ÷òî åñëè fn(x) f(x), то для любого подмноже-

Y

ства Y X последовательность fn(x) f(x), так как неравенство jfn(x) f(x)j < ", верное для всех номеров n > N и для всех x 2 X, очевидно, выполняется для тех же номеров n и для всех x 2 Y . Это замечание, справедливое,

разумеется, и для функциональных рядов, будет использоваться нами ниже.

90 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

Рассмотрим примеры, привед¼нные в конце предыдущего параграфа, с точки зрения понятия равномерной сходи-

ратные скобки означают целую часть, в силу определения

ще говоря, это неравенство установлено лишь для x 2 (0; 1], но очевидно, что оно верно и для x = 0). Таким образом, для всех n > N и для всех x 2 [0; 1] абсолютная величи-