Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

знакочередующийся, прич¼м абсолютная величина его общего члена стремится к нулю, но немонотонно.

4.Суммирование числовых рядов

Âэтом разделе мы кратко ознакомимся с тем, что существуют и иные, помимо сходимости последовательности частичных сумм, способы, позволяющие поставить в соответствие числовому ряду какое-либо число, то есть придать неформальный смысл бесконечной сумме (1.2) какимто другим пут¼м, не обязательно совпадающим с изучаемым до сих пор (предел последовательности частичных сумм).

4.1.Понятие методов суммирования числовых рядов

Если указан какой-либо способ T , позволяющий некоторым числовым рядам поставить в соответствие S число

или какой-либо из бесконечных символов, то T называется

методом суммирования , à S обобщ¼нной суммой .

Рассмотрим некоторые п р и м е р ы.

1

1. Сходимость. Äëÿ ðÿäà P an вводятся частичные сум-

n=1

n

P

ìû Sn = ak и результатом применения метода T назы-

k=1

вается предел S = lim Sn (число или какой-либо из бес-

n!1

конечных символов), если этот предел имеет смысл. Таким

1

P

образом, в этом примере T an = S и метод сумми-

n=1

рования T , естественно, совпадает с обычной сходимостью.

Однако надо иметь в виду, что есть и другие методы суммирования, а сходимость всего лишь один из них.

2. Любому ряду поставим в соответствие число 0, то есть

1

P

в этом примере T an = 0 и метод суммирования при-

n=1

меним к любому ряду.

3. Любому ряду поставим в соответствие число 1, то есть

1

Метод суммирования T называется регулярным, åñëè îí

применим к любому сходящемуся (к конечной сумме) ря-

1

äó P an, прич¼м обобщ¼нная сумма ряда совпадает с обыч-

Регулярный метод суммирования T называется вполне

регулярным, если он применим к любому расходящемуся

1

ê +1 èëè ê 1 ðÿäó P an, прич¼м обобщ¼нная сумма

n=1

1

ряда совпадает с обычной, то есть если P an = +1 ( 1),

n=1

1

P

òî T an = +1 ( 1).

n=1

4.2.Регулярность и полная регулярность метода средних арифметических

Применим эти понятия (линейность, регулярность, полная регулярность) к методам суммирования, которые введены в рассмотренных выше примерах. Ввиду очевидности или тавтологии некоторые свойства этих методов не доказываются, а лишь формулируются.

1.Сходимость, конечно, линейный и вполне регулярный метод.

2.Данный метод линейный, но нерегулярный.

3.А этот метод не является ни линейным, ни регуляр-

íûì.

4.Метод средних арифметических, разумеется, линеен. Он также является регулярным и даже вполне регулярным. Чтобы в этом убедиться, докажем две теоремы.

n=1

lim S = S, то есть для любого " > 0 найд¼тся номер N ,

номер N такой, что для всех n > N абсолютная величи-

íà j n Sj < " , òî åñòü lim n = S . Теорема доказана.

2 n!1

Т е о р е м а 4.2. Метод средних арифметических вполне регулярен.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Как уже отмечалось ранее, метод

средних арифметических линеен, поэтому достаточно уста-

1

новить, что если ряд P an расходится к +1, то он и сумми-

n=1

руется к +1. Итак, пусть предел частичных сумм lim Sn =

n!1

= +1, то есть для любого M > 0 найд¼тся номер N1 такой, ÷òî äëÿ âñåõ n > N1 частичная сумма Sn > 2M. Обозна-

÷èì m = max jSkj и выберем номер N2 так, что отноше-

16k6N1

то есть для любого M > 0 найд¼тся номер N такой, что

для всех n > N величина n > M, òî åñòü lim n = +1.

n!1

Теорема доказана.

Таким образом, метод средних арифметических суммирует любой ряд, сумма S которого либо конечное число, ли-

бо +1 или 1, к той же самой сумме. Но некоторые ðàñ-

ходящиеся ряды этот метод также суммирует. Рассмотрим расходящийся ряд (это переобозначенный ряд (1.6)):

1

X

( 1)n 1 = 1 1 + 1 1 + 1 1 + : (4.1)

n=1

ким образом, ряд (4.2) расходится к 1, прич¼м эту бесконечность без знака нельзя отождествить ни с +1, ни

дом средних арифметических (методом (H; 1)). Можно по-

казать, что этот ряд суммируется методом (H; 2) к 14 , íî мы не будем на этом останавливаться. Отметим лишь, что ряд (4.2) является примером того, что не всякий линейный вполне регулярный метод суммирует к 1 ряды, расходя-

80 Часть I. Числовые ряды

Совершенно аналогично можно установить, что обобщ¼нное

4.4.Вопросы для повторения и самостоятельной работы

1.Просуммировать ряд (4.2) методом (H; 2).

2.Добавить в ряд (4.1) нули так, что полученный ряд перестал бы суммироваться методом средних арифметических.

= v. Доказать, что:

а) метод T является линейным;

б) метод T является регулярным;

в) метод T является вполне регулярным;

г) если какой-либо ряд суммируется методом средних арифметических к числу , то он суммирует-

ся также рассматриваемым методом T к тому же числу.