Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

Т е о р е м а 3.3 (признак Дирихле). Если числовая по-

следовательность fang1n=1 монотонна и стремится к нулю, а

1

частичные суммы ряда P bn ограничены в совокупности,

n=1

то есть найд¼тся M > 0, что для всех k абсолютная величи-

k íà P

n=1

1

X

n=1

сходится.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Не ограничивая общности, можно считать, что fang1n=1 монотонно не возрастает, то есть

Поэтому an > 0 и, согласно определению предела, для любого " > 0 найд¼тся номер N такой, что

Пусть n и m таковы, что m > n > N. Тогда из преобра-

зования Абеля (3.12), формулы (3.16) и неравенства (3.17) вытекает, что

62 Часть I. Числовые ряды

Это означает, что для ряда (3.15) выполняется критерий

1

Коши, следовательно, по теореме 1.3 ряд P anbn сходится.

n=1

Теорема доказана.

Т е о р е м а 3.4 (признак Абеля). Пусть числовая после- довательность fang1n=1 монотонна и ограничена, то есть най-

д¼тся K > 0, что для всех n абсолютная величина janj 6 K,

1

à ðÿä P bn сходится. Тогда ряд

anbn

n=1

сходится.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Так же, как и при доказатель-

стве предыдущей теоремы, не ограничивая общности, можно считать, что fang1n=1 монотонно не возрастает, то есть

Пусть n и m таковы, что m > n > N. Тогда из преобразования Абеля (3.14) при D = B, формулы (3.18) и неравенства (3.19) вытекает, что

ям признака Лейбница (теоремы 3.2), сходится по признаку Дирихле.

П р и м е р. Рассмотрим ряды

n=1

при различных значениях x и некоторых условиях на ряд

1

P

an. Пусть этот ряд сходится абсолютно, то есть ряд

n=1

то при выполнении условия (3.22) ряды (3.20) и (3.21) сходятся абсолютно для любого x 2 ( 1; +1).

Пусть теперь последовательность fang1n=1, монотонно не

возрастая, стремится к нулю, прич¼м знакоположительный

1

где k 2 Z, значения cos nx = 1, то из (3.23) следует, что

для этих x ряд (3.20) расходится. Пусть x 6= k2 (k 2 Z). Тогда sin x2 6= ,0и поэтому cos x + cos 2x + + cos nx =

66 Часть I. Числовые ряды

признаку Дирихле, так как при x 6=m , m 2 Z можно, аналогично оценке (3.25), получить оценку

j cos 2x + cos 4x + + cos 2nxj 6 j sin1 xj :

Сумма двух рядов, один из которых сходится, а второй

Теперь рассмотрим ряд (3.21) при условии (3.23). При x = m , где m 2 Z, этот ряд состоит из нулей, и поэтому

для этих значений x сходится абсолютно. При остальных x, аналогично рассмотрению ряда (3.20), можно вывести фор-

ческий ряд. Поэтому ряд (3.30) расходится как сумма двух рядов (an = bn + cn), один из которых сходится, а другой расходится. Однако предел отношения

p

n

Легко проверить, что ряд (3.30), подобно ряду (3.9), является примером того, что требование монотонности в признаке Лейбница существенно.

В первом разделе мы видели, что сочетательный закон, справедливый для сходящихся рядов, не всегда верен для расходящихся (см. теорему 1.2, доказанную для сходящихся рядов, и следующую после не¼ иллюстрацию неприменимости этой теоремы для расходящихся рядов). Сейчас будет показано, что переместительный закон не всегда справедлив даже для сходящихся рядов. Рассмотрим сходящийся ряд Лейбница (3.7), сумма которого S = ln 2 (см. (3.8)), и

переставим его слагаемые так: два положительных слагаемых, одно отрицательное, два положительных, одно отрицательное и так далее, то есть рассмотрим ряд

члены которого разбиты на группы по три слагаемых в каж-

ряда (3.31) тем же пут¼м, каким была найдена сумма ря-

n=1

èëè äàæå ограни-

ченно расходиться, то есть частичные суммы расходящегося

1

ðÿäà P bn будут ограничены.

n=1

3.5.Вопросы для повторения и самостоятельной работы

1.Вывести формулу (3.28).

2.Исследовать сходимость рядов:

à) 1 + 12 13 + 14 + 15 16 + 17 + 18 19 + : : :, á) 1 12 + 13 + 14 15 + 16 + 17 18 + 19 + : : :, â) 1 + 12 + 13 14 + 15 + 16 17 + 18 + 19 : : :, ã) 1 12 13 + 14 15 16 + 17 18 19 + : : :, ä) 1 + 12 13 14 + 15 + 16 17 18 + : : :.