Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

1.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 285 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

> 0. Тогда найд¼тся номер n0 такой, что, согласно

венство

2. Знакоположительные ряды			41
1	1
X
Íî ðÿä		расходится (см. (1.11) или (2.12)). Поэтому
n=1	n
n=1			1
ходится. Теорема доказана.			1
ходится. Теорема доказана.			nP
из (2.29) вытекает, что, согласно теореме 2.6, ряд			an ðàñ-
			=1

С л е д с т в и е (признак Раабе в предельной форме). Если an > 0 è

	an
nlim n	a	n+1	1 = r;	(2.30)
!1		n+1

òî ïðè r > 1 ðÿä an сходится, а при r < 1 расходится.

n=1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если r конечное число, то, согласно определению предела, для любого " > 0 найд¼тся номер n0 такой, что для всех n > n0 абсолютная величина

n	an	1	r	< ", то есть имеет место двойное нера-
n	an+1	1	r	< ", то есть имеет место двойное нера-

	an
r " < n	an+1	1 < r + "; n > n0:	(2.31)

Пусть r > 1. Если r конечное число, то возьм¼м " =

= r 1 2

первому из неравенств (2.31), для всех n > n0 имеет место

an+1

1 > r

r + 1

= r

> 1:

Следовательно, согласно теореме 2.7, ряд

an сходится.

Åñëè æå r = +1, òî ðÿä

=1 an также сходится. Действи-

42	Часть I. Числовые ряды

тельно, в этом случае найд¼тся номер n0 такой, что для всех n > n0 справедливо неравенство

n	an	1 > 2;
	an+1

и поэтому ряд P an также сходится по той же теореме 2.7.

n=1

Пусть r < 1. Если r конечное число, то возьм¼м " = = 1 r > 0. Тогда найд¼тся номер n0 такой, что, согласно второму из неравенств (2.31), для всех n > n0 имеет место неравенство

Åñëè æå r = 1, òî ðÿä an также расходится. Действи-


n	an	1 < r + (1	r) = 1:
n	an+1	1 < r + (1	r) = 1:
Следовательно, согласно теореме 2.7, ряд				1
Следовательно, согласно теореме 2.7, ряд				an расходится.
		1		=1
		1		nP
тельно, в этом случае		P	n0 такой, что для всех

n=1

найд¼тся номер n > n0 справедливо неравенство

		an		6 1
	n	an+1	1	6 1
1
P
è ðÿä	an также расходится по теореме 2.7. Следствие
n=1
доказано.		= 1		n!1	an+1 1
Отметим, что если r			или предел lim n			an
Отметим, что если r			или предел lim n
не существует, то данный признак				не да¼т ответа на вопрос
							1
о том, сходится или расходится исследуемый ряд							nP
о том, сходится или расходится исследуемый ряд								an.
							=1

2. Знакоположительные ряды

В частности, для âñåõ рядов (2.14), как сходящихся (при p > 1), так и расходящихся (при p 6 1), имеем

	an
nlim n	a	n+1	1 = 1:	(2.32)
!1		n+1

Сравнивая предельные формы признаков Даламбера и

Раабе, мы видим, что признак Раабе гораздо сильнее признака Даламбера. Действительно, если lim an+1 = q 6= ,1

n!1 an

		an		1		6= 1(ïðè ýòîì åñëè q = 0, òî Q = +1,
òî nlim			= Q =
òî nlim	a	n+1	= Q =		q
!1		n+1				n!1	an+1 1		ðà-
		= +1				n!1	an+1 1		ðà-
à åñëè q				, то Q = 0), и поэтому lim n				an
à åñëè q				, то Q = 0), и поэтому lim n

вен +1 при q < 1 и 1 при q > 1. Таким образом, если

предельная форма признака Даламбера да¼т ответ о сходимости (расходимости) исследуемого ряда, то предельная форма признака Раабе и подавно его да¼т: мы получаем, что r = +1 в случае сходимости согласно предельной фор-

ме признака Даламбера и r = 1 в случае расходимости. Для всех остальных r 2 ( 1; 1) [ (1; +1), признак Раабе

да¼т ответ о сходимости (расходимости) ряда, а признак Даламбера ответа не да¼т, потому что для этих r величина

q = 1.

Т е о р е м а 2.8 (признак Куммера). Пусть числовая последовательность fcng1n=1 такова, что

	1	1
cn > 0;	X		= +1;	(2.33)
cn > 0;	n=1	cn	= +1;	(2.33)

X 1

то есть знакоположительный ряд n=1 cn расходится. Тогда

> 0, то есть после-

44								Часть I. Числовые ряды
			1
		P
äëÿ ðÿäà					an, в котором an > 0, справедливы следующие
		n=1
утверждения.
1. Если найдутся число d > 0 и номер n0 такие, что
					an		> d	äëÿ âñåõ n > n0;
		cn				cn+1			(2.34)
		cn		an+1		cn+1			(2.34)
2.		1						n0 такой, что
2.		P						n0 такой, что
òî ðÿä			an сходится.
		n=1
	Если найд¼тся номер
					an		6 0	äëÿ âñåõ n > n0;
		cn				cn+1			(2.35)
		cn			an+1	cn+1			(2.35)
		1
òî ðÿä		nP	an расходится.
		=1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим вначале первое утверждение. Согласно замечанию на с. 15, не ограничивая общности, можно считать, что неравенство (2.34) выполняется для всех n = 1; 2; 3; : : :. Умножая это неравенство на

an+1 > 0, получаем

cnan cn+1an+1 > d an+1:

(2.36)

Отсюда вытекает, что bn cnan cn+1an+1

довательность fcnang1n=1 строго убывает, а так как cnan > 0,

то эта последовательность имеет предел: lim cnan = b > 0.

n!1

Поэтому ряд P bn сходится, так как последовательность

n=1

его частичных сумм fSng1n=1 имеет предел, поскольку Sn = = b1 + b2 + + bn = c1a1 c2a2 + c2a2 c3a3 + + cnan

cn+1an+1 = c1a1 cn+1an+1 стремится к числу c1a1 b. Íî

2. Знакоположительные ряды

тогда из неравенства (2.36) по теореме 2.2 вытекает сходи-

мость ряда

=1 d an+1, а отсюда и из теоремы 1.1 следует,

÷òî ðÿä

an сходится.

n=1

УстановимP

теперь второе утверждение. Из (2.35) выте-

êàåò, ÷òî

an+1

; n > n0:

cn+1

Отсюда и из (2.33) по теореме 2.6 следует, что ряд

расходится. Теорема доказана.

С л е д с т в и е (признак Куммера в предельной форме). Если an > 0 è

nlim	cn	an		cn+1	= d;	(2.37)
		a	n+1
!1						1
ãäå fcngn1=1 удовлетворяет (2.33), то при d > 0 ðÿä
						=1 an
сходится, а при d < 0 этот ряд расходится.						nP

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если d конечное число, то, согласно определению предела, для любого " > 0 найд¼тся номер n0, такой, что для всех n > n0 абсолютная величина

cn	an	cn+1 d			< ", то есть имеет место двойное
cn	an+1	cn+1 d			< ", то есть имеет место двойное
неравенство

			an
	d	" < cn		cn+1 < d + "; n > n0:			(2.38)
	d	" < cn	an+1	cn+1 < d + "; n > n0:		d	(2.38)
Пусть d > 0 и конечное число. Возьм¼м " =						d	> 0.
Пусть d > 0 и конечное число. Возьм¼м " =						2	> 0.
						2

Тогда найд¼тся номер n0 такой, что, согласно первому из неравенств (2.38), для всех n > n0 имеет место

cn	an	cn+1 > d	d			=	d			= d1 > 0:
	an+1			2				2

46				Часть I. Числовые ряды
	1				1
	1				nP
Следовательно, согласно теореме 2.8 ряд					an сходится. Ес-
	P				=1
но, в этом случае	P			n0 такой, что для всех
ëè æå d = +1, òî ðÿä n=1 an также сходится. Действитель-
	найд¼тся номер
n > n0 справедливо неравенство
		an
	cn		cn+1	> 1;
	cn	an+1	cn+1	> 1;

и поэтому ряд P an также сходится по теореме 2.8.

n=1

Пусть d < 0 и конечное число. Возьм¼м " = d > 0. Тогда найд¼тся номер n0 такой, что, согласно второму из неравенств (2.38), для всех n > n0 имеет место

	cn	an		cn+1 < d ( d) = 0:
	cn	an+1		cn+1 < d ( d) = 0:
				1				1
				1				nP
Следовательно, согласно теореме 2.8 ряд								an расходится.
					P			=1
тельно, в этом случае					P		n0 такой, что для всех
Åñëè æå d = 1, òî ðÿä n=1 an также расходится. Действи-
			найд¼тся номер
n > n0 справедливо неравенство
					an
		cn				cn+1 6	0;
		cn			an+1	cn+1 6	0;
	1
ствие доказано.nP
и поэтому ряд		an также сходится по теореме 2.8. След-
	=1

Отметим, что если предел в (2.37) не существует или его

величина d = 0, то данный признак íå äà¼ò ответа на во-

прос о том, сходится или расходится исследуемый ряд P an

n=1

2. Знакоположительные ряды

(возможно, что для исследования надо взять какую-либо другую последовательность fcng1n=1, разумеется, удовлетво-

ряющую (2.33)).

Установим, что в признаке Куммера при надлежащем подборе последовательности fcng1n=1 содержатся признаки

Даламбера и Раабе. Ограничимся для простоты лишь предельными формами.

Возьм¼м cn = 1. Ясно, что условие (2.33) выполняется, а равенство (2.37) переходит в равенство (2.17) на с. 33. При этом d = 1q 1 (åñëè q = 0, òî d = +1, à åñëè q = +1,

то d = 1). Таким образом, из признака Куммера получил-

ся признак Даламбера, поскольку из сходимости (расходимости) ряда по признаку Даламбера вытекает аналогичное поведение этого же ряда по признаку Куммера.

Возьм¼м cn = n. Ясно, что условие (2.33) выполняется, а равенство (2.37) переходит в равенство (2.30). При этом d = r 1. Таким образом, из признака Куммера по-

лучился признак Раабе, ибо из сходимости (расходимости) ряда по признаку Раабе вытекает аналогичное поведение этого же ряда по признаку Куммера.

	1
Т е о р е м а 2.9 (признак Гаусса). Если для ряда	nP
Т е о р е м а 2.9 (признак Гаусса). Если для ряда	an,
	=1

в котором an > 0, найдутся номер n0 и числа , , > 0

и C > 0 такие, что отношение								an		можно представить в
и C > 0 такие, что отношение										можно представить в
âèäå								an+1
	an				n		j nj 6 C		äëÿ âñåõ n > n0; (2.39)
		= +		+		;
an+1		= +	n	+	n1+	;
òî				1
				1
					nP
	1) ïðè > 1 ðÿä						an сходится;
				=1

= 1, òî åñòü расходящийся ðÿä

48			Часть I. Числовые ряды
		1	1
		nP	1
2) ïðè < 1 ðÿä		an расходится;
		=1	P
			P
3) ïðè = 1 è > 1 ðÿä			an сходится;
			n=1
			1
		6 1 ðÿä	nP
4) ïðè = 1 è		6 1 ðÿä	an расходится.
			=1
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Из (2.39) вытекает, что предел от-
ношения lim	an	= , òî åñòü lim		an+1	= q =	1	(åñ-
ношения lim		= , òî åñòü lim			= q =		(åñ-
n!1 an+1			n!1	an

ли = 0, то q = +1). Поэтому согласно признаку Да-

ламбера в предельной форме (см. следствие из теоремы 2.4) первое и второе утверждения настоящей теоремы установлены.

Пусть = 1. В этом случае из (2.39) вытекает, что пре-

n!1	an+1 1		= n!1		n
äåë lim n		an	lim	+	n	= . Поэтому со-

гласно признаку Раабе в предельной форме (см. следствие

из теоремы 2.7) ряд P an сходится при > 1 и расходится

n=1

при < 1. Следовательно третье утверждение настоящей

теоремы и е¼ четв¼ртое утверждение при < 1 установле-

íû.

Пусть теперь = = 1. Рассмотрим ряд (2.14) при p =

Согласно (2.39) предел lim

n!1

X 1

n=2 cn , в котором cn = n ln n.

cn an cn+1 =

an+1

= n!1		n			n1+	(		+ 1) ln(		+ 1)	=
lim	n ln n	1 +	1	+	n		n		n
lim	n ln n	1 +		+			n		n

2. Знакоположительные ряды

= n!1 (

+ 1) ln

+ n

(

+ 1) ln(

+ 1) =

lim

n ln n

= 1

= n!1 ( + 1) ln

1 n + 1

+ n n

lim

ln n

(â òîì, ÷òî nlim (n + 1) ln 1

1, à

nlim

n + 1

= 0, легко убедиться, вычислив пределы

lim

ln(1 u)

ln t

u!0+0

= 1

lim

, например, по правилу Лопиталя).

t!+1 t

= 0

Поэтому согласно признаку Куммера в предельной форме

(см. следствие из теоремы 2.8) ряд P an расходится. Следо-

n=1

вательно, четв¼ртое утверждение настоящей теоремы окон- чательно установлено. Теорема доказана.

2.5.О порядке роста частичных сумм гармонического ряда

Заканчивая этот раздел, рассмотрим более подробно поведение частных сумм гармонического ряда (1.11). Обозна-

÷èì	1		1	1

Hn = 1 +		+		+ +		(2.40)
	2		3		n

и введ¼м следующую числовую последовательность fxng1n=1:

	1		1	1
xn = Hn ln n = 1 +		+		+ +		ln n:	(2.41)
	2		3		n

Из первого из неравенств двойного неравенства (2.10), полу- ченного при доказательстве теоремы 2.3 (см. также график

50	Часть I. Числовые ряды

на с. 28), для функции f(x) = x1 , очевидно, удовлетворяю- щей условиям этой теоремы, имеем, что 1+ 12 + 13 + + n1 >

n+1

> Z1	x	= ln(n+1), òî åñòü xn > ln(n+1) ln n > 0 äëÿ âñåõ
	dx
номеров		n. Это означает, что последовательность fxngn1=1

ограничена снизу . Далее, согласно (2.41), разность двух со-

седних членов последовательности xn+1 xn = 1 + 2 + +
										1
+n		+ n + 1 ln(n + 1)				1 + 2	+ + n		ln n = n+1 +
	1			1		1		1	1
					n + 1 + ln 1
+ ln n + 1 =					n + 1 + ln 1	n + 1		. Эта сумма отрица-
			n		1	1

тельна вследствие того, что у функции f(x) = ln(1 + x)

вторая производная f00(x) =	1	< 0, и поэтому кри-

	(1 + x)2

âàÿ y = ln(1+x) строго выпукла вверх , то есть лежит íèæå

любой своей касательной, в том числе касательной, проходящей через точку (0; 0). Итак, xn+1 xn < 0, òî åñòü ïî-

следовательность fxng1n=1 строго убывает, следовательно, существует

nlim xn = nlim (Hn ln n) = C:1		(2.42)
!1	!1

Из (2.42), в частности, вытекает, что

Hn ln n;

то есть частные суммы Hn гармонического ряда (1.11) с ростом n возрастают как ln n.

1Величина C носит название постоянной Эйлера .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 285 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ

#
17.05.20241.97 Mб23Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013.pdf
#
17.05.20241.47 Mб7Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013.pdf
#
17.05.202418.7 Mб3PrilepkoAI_Tenzornaya_algebra_i_samosopryazhennye_operatory.pdf
#
17.05.20241.91 Mб2Sandakov_Nachala_tenzornogo_ischisleniya_Metodicheskie_rekomendacii_2009.pdf
#
17.05.2024947.59 Кб9Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021.pdf
#
17.05.2024951.32 Кб0Zadania_na_ekvivalentnost_Ryady.pdf
#
17.05.20244.66 Mб1АнтиДем3сем.pdf