Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

мого. Поэтому ряд (2.13) расходится по признаку сравнения (см. теорему 2.2).

1

2. Пусть p > 0. Функция f(x) = x lnp x при этих p (даже при p > 0) удовлетворяет условиям теоремы 2.3, а

ln 2

ходится при p 6 1. Отсюда по интегральному признаку вытекает, что ряд (2.13) сходится при p > 1 и расходится при 0 < p 6 1.

Объединяя эти два случая, получаем, что ряд

2.3.Признак Даламбера. Радикальный признак Коши

Ðÿäû âèäà (1.4) (ïðè q > 0), (2.11) è (2.13) äàþò äî-

статочно много тестовых рядов для применения признаков сравнения (в допредельной и предельной формах) при исследовании на сходимость данного знакоположительного ряда (см. (1.7), (2.12) и (2.14)). Однако можно осуществить сравнение с такого рода рядами и в некоторой организованной форме.

котором an > 0, справедливы следующие утверждения.

Возьм¼м любое n > n0 и напишем неравенство (2.15) для k = = n0; n0 + 1; n0 + 2; : : : ; n 1:

an0+1 6 qan0 ; an0+2 6 qan0+1;

. . . . . . . . . . . . . . .

an 6 qan 1:

Перемножая все эти неравенства и сокращая на отличное от нуля произведение an0+1 an0+2 : : : an 1, имеем

(Это неравенство, вообще говоря, выведено лишь для зна- чений n > n0, но оно также верно и для n = n0.) Òàê êàê

Установим теперь второе утверждение. По условию

ak+1 > ak; k = n0; n0 + 1; n0 + 2; : : : :

Следовательно, при n > n0 имеет место цепочка неравенств an > an 1 > > an0+1 > an0 :

Отсюда видно, что для всех членов ряда, начиная с номе- ðà n0, имеет место неравенство

òî ïðè q < 1 ðÿä an сходится, а при q > 1 этот ряд

=1

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê an > 0, то q > 0. Если q конечное число, то, согласно определению предела, для любого " > 0 найд¼тся номер n0, такой, что для всех n > n0

номер n0, такой, что согласно второму из неравенств (2.18) для всех n > n0 отношение

n=1

2. Если найд¼тся строго возрастающая последовательность fnkg1k=1

1 6 n1 < n2 < < nk < nk+1 <

С л е д с т в и е (радикальный признак Коши в предельной форме). Если an > 0 è

òî ïðè q < 1 ðÿä an сходится, а при q > 1 расходится.

n=1

ñ ò â î. Òàê êàê

= lim pn an 2 [0; 1), то по определению верхнего предела как

n!1

36 Часть I. Числовые ряды

крайней правой предельной точки последовательности, для любого " > 0 найд¼тся номер n0 такой, что

n=1

ламбера, при q = 1 предельная форма признака Коши íå

äà¼ò ответа о сходимости или расходимости исследуемого

1

an. В качестве примера так же, как и ранее, можно

n=1

рассмотреть ряды вида (2.11) для любого p 2 (1; +1),

Отметим также, что если при исследовании сходимости знакоположительного ряда по признаку Даламбера или радикальному признаку Коши (в допредельной или предельной формах) делается вывод о расходимости ðÿäà, òî äëÿ

этого ряда lim an 6=,0то есть не выполняется необходимый

n!1

признак сходимости. Это замечание, подобно замечанию на с. 15, неоднократно будет использоваться в дальнейшем.

Можно установить (мы не будем этого делать), что радикальный признак Коши сильнее признака Даламбера, то есть если сходимость (расходимость) какого-то знакоположительного ряда можно установить по признаку Даламбера, то этот же результат можно получить и по радикальному признаку Коши. Однако в ряде примеров применение признака Даламбера бывает проще.

2.4.Специальный признак сравнения. Признаки Раабе, Куммера и Гаусса

Òе о р е м а 2.6 (специальный признак сравнения). Пусть an > 0, bn > 0 и существует такой номер n0, ÷òî

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Возьм¼м любое n > n0 и напишем неравенство (2.21) для k = n0; n0 + 1; n0 + 2; : : : ; n 1:

Неравенство (2.22), подобно неравенству (2.16), вообще говоря, выведено лишь для значений n > n0, но оно также верно и для n = n0.

ñÿ (см. теорему 1.1), то по признаку сравнения (теорема 2.2)

1

an тоже сходится.

n=1

1

Пусть теперь ряд P an расходится. Так же, как при до-

n=1

1

казательстве теоремы 2.2, если ряд P

n=1

1

только что доказано) ряд P an тоже сходится. Это противо-

n=1

речие доказывает второе утверждение. Теорема доказана.

1

Т е о р е м а 2.7 (признак Раабе). Для ряда P

n=1

ðîì an > 0, справедливы следующие утверждения.

1

òî ðÿä P an сходится.

n=1

2. Если найд¼тся номер n0 такой, что

1

òî ðÿä P an расходится.

n=1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим первое утверждение. Из неравенства (2.23) следует

гласно определению предела, для любого " > 0 найд¼тся номер n1, такой, что для всех n > n1 абсолютная величина

n

40 Часть I. Числовые ряды

Возьм¼м " = r p > 0. Тогда найд¼тся номер n1 такой,

Из (2.25) и (2.27) следует, что для всех n > n2 = max(n0; n1)

n