Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

и найд¼м его частичные суммы. Мы имеем, что

S1 = a1 = u1; S2 = a1 + a2 = u1 + (u2 u1) = u2; Sn = a1 + a2 + + an =

= u1 + (u2 u1) + + (un un 1) = un;

òî åñòü Sn = un при n = 1; 2; : : :. Следовательно, можно не только применять свойства последовательностей при изу- чении рядов (что уже делается), но и, наоборот, свойства рядов применять для изучения последовательностей.

При исследовании сходимости числовых последовательностей используется критерий Коши . Сформулируем его для рядов, имея в виду последовательность fSng частичных сумм числового ряда (1.2).

Т е о р е м а 1.3 (критерий Коши для рядов). Числовой

1

ðÿä P an сходится тогда и только тогда, когда для любого

n=1

" > 0 найд¼тся номер N, что для всех номеров n и m таких, что m > n > N, имеет место неравенство

m

X

ak < ":

k=n+1

Отметим, что в специальном доказательстве эта теорема не нуждается, так как она ранее была доказана для любых

числовых последовательностей в том числе и для последо-

1

вательности fSng частичных сумм ряда P an.

n=1

Теорема доказана.

Отметим, что эту теорему можно вывести из критерия Коши для рядов (из теоремы 1.3). Также отметим, что при решении примеров этот признак, являясь необходимым, используется для доказательства расходимости исследуемого ряда. Так, при исследовании сходимости рядов (1.4), мы видим, что при jqj > 1 (случаи 2 5) предел его общего чле-

отличен от нуля, и поэтому ряд P qn в этих случаях расхо-

n=0

дится.

С другой стороны, установив, что lim an = 0, ìû íå

n!1

докажем сходимости ряда. П р и м е р. Рассмотрим ряд

покажем, этот ряд расходится по теореме 1.3. Действительно, возьм¼м " = 12 > 0 и для любого номера N рассмот-

рим n = N + 1 и m = 2n (очевидно, что m > n > N). Но

1.4.Вопросы для повторения и самостоятельной работы

1.Доказать теорему 1.1.

2.Составить числовой ряд, частичными суммами кото-

рого являются элементы последовательности

1; 12 ; 13 ; : : : ; n1 ; : : : :

Чему равна сумма полученного ряда?

3.Вывести необходимый признак сходимости (то есть теорему 1.4) из критерия Коши (из теоремы 1.3).

2.Знакоположительные числовые

ðÿäû

1

Числовой ряд P an называется знакоположительным ,

n=1

если для всякого n общий член an > 0.

Разумеется, согласно замечанию на с. 15 о том, что сходимость (расходимость) ряда не зависит от изменения конечного числа начальных слагаемых, достаточно считать, что неравенство an > 0 имеет место для всех n, начиная с

некоторого номера n0.

2.1.Критерий сходимости знакоположительных рядов

1 Т е о р е м а 2.1. Знакоположительный числовой ряд

P

an сходится тогда и только тогда, когда последователь-

n=1

ность fSng его частичных сумм ограничена сверху. При этом сумма ряда S = supfSng.

Äî ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Частичная сумма Sn+1 = a1 +a2 +

++an+an+1 = Sn+an+1 > Sn, то есть последовательность fSng является возрастающей, а для таких последовательностей, как известно, критерием сходимости будет ограниченность сверху. При этом предел последовательности равен е¼ точной верхней грани. Теорема доказана.

Ясно, что если последовательность fSng не ограничена

Поэтому для знакоположительных рядов в качестве обозна- чения сходимости можно писать

n=1

Äëÿ знакопеременных рядов, то есть для таких рядов, в которых как угодно далеко встречаются и положительные, и отрицательные слагаемые, обозначение (2.2) (ограниченность частичных сумм) уже не эквивалентно сходимости, что показывает пример расходящегося ряда (1.6) с ограни- ченными частичными суммами.

2.2.Признак сравнения. Интегральный признак

Òе о р е м а 2.2 (признак сравнения). Пусть существует такой номер n0, ÷òî

Так как (см. замечание на с. 15) отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (расходимость), то будем считать, что неравенство (2.3) справедливо для всех n 2 N. Но тогда из (2.4) вытекает, что

1

Пусть ряд P bn сходится. Согласно теореме 2.1, последо-

n=1

вательность fBng ограничена сверху. Поэтому из (2.5) сле-

дует, что последовательность fAng также ограничена свер-

1

ху, то есть (опять по теореме 2.1) ряд P an сходится, что

n=1

доказывает первое утверждение.

дится, то (как только что доказано) ряд P an также схо-

n=1

11

Тогда ряды P an è P bn сходятся или расходятся одновре-

n=1 n=1

менно.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Согласно определению предела, для любого " > 0 найд¼тся номер n0, такой, что для всех

Суммируя полученное двойное неравенство по k от 1 до n, получаем

из неравенств (2.10) следует, что числовая последователь-

ность также ограничена сверху. Но по усло-

вию f(x) > 0, следовательно, неубывающая функция F (T )=

T

R

=f(x) dx является ограниченной сверху, и поэтому суще-

ме 2.1, последовательность fSng, а значит, и последовательности fSn+1g è fSn+1 f(1)g не ограничены сверху. Поэтому по второму из неравенств (2.10) следует, что последо-

сходится (расходится). Теорема доказана.

Проиллюстрируем только что доказанный интегральный признак следующими п р и м е р а м и.

П р и м е р 1. Рассмотрим ряд

1

то есть ряд с общим членом an = np при различных значе- ниях p. В частности, при p = 1 получается введ¼нный ранее

гармонический ряд (1.11). Рассмотрим два случая.

1. Пусть p 6 0. Тогда lim an 6= 0(этот предел равен

n!1