Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

1.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2826 27 28 > Следующая >>>

9. Тригонометрические ряды Фурье		251
Из (9.61) следует, что ортогональная система e	inx	+1
Из (9.61) следует, что ортогональная система e		n=1 çà-
мкнута в пространстве Q0L2[ ; ] и, стало быть, является

ортогональным базисом этого пространства. Далее, из формул для коэффициентов (9.8), формул Эйлера (9.60), про- читанных как

e ikx = cos kx i sin kx;

и (9.62) вытекают формулы (9.59). Действительно, c0 = a20 =

ak ibk

f(x) dx, для k положительных c

f(x)(cos kx i sin kx)dx =

f(x)e ikxdx;

= 2 Z

2 Z

для k отрицательных аналогично. Теорема доказана.

9.6.Ряды Фурье на произвольном отрезке

Âэтом разделе мы рассмотрим ряды Фурье по ортогональным тригонометрическим системам и системам экспонент c мнимыми показателями на произвольном отрез-

ке [a; b], а также ряды Фурье только по систамам косинусов

или только по системам синусов на прилегающем к нулю отрезке [0; l]. Так как с помощью линейной замены (9.2) от-

резок [a; b] переходит в отрезок [ ; ] (и наоборот), и так же линейно связаны между собой отрезки [0; ] и [0; l], то,

очевидно, âñå доказанные в предыдущих параграфах теоремы справедливы для произвольных отрезков. Мы ограничимся лишь формулировками теорем о базисности соответствующих систем, хотя, разумеется, и такие, например,

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â à

252	Часть III. Ряды Фурье

теоремы, как теорема о поточечной или о равномерной сходимости, также справедливы. теорем приводиться не будут. Они предоставляются читателю.

Т е о р е м а 9.10. В евклидовом пространстве Q0L2[a; b] ортогональная система (8.67):

1; cos	nx	; sin	nx	1	;	l =	b a
	l		l	on=1			2
n

является ортогональным базисом , то есть для любой функции f(x) 2 Q0L2[a; b] имеет место равенство

L2	a0	1	an cos	nx	+ bn sin	nx	:
f(x) =	2	+ n=1		l		l
		X

При этом коэффициенты Фурье

ляются по формулам

n n=0 è

n n=1 вычис-

f(x) cos

dx;

n = 0; 1; : : : ;

l Za

f(x) sin

dx;

n = 1; 2; : : : :

Ò å î ð å ì à 9.11.

В евклидовом пространстве Q0L2[0; l]

ортогональные системы (8.69) и (8.71):

ncos

on=0

è nsin

on=1

9. Тригонометрические ряды Фурье

253

являются ортогональными базисами , то есть для любой функции f(x) 2 Q0L2[0; l] имеют место равенства

L2	a0		1	nx
			X
f(x) =	2	+	an cos	l	;
			n=1
L2			1	nx
			X
f(x) =			bn sin	l	:
			n=1

При этом коэффициенты Фурье

ляются по формулам

n n=0 è

n n=1 вычис-

an =

f(x) cos

dx;

n = 0; 1; : : : ;

l Z0

bn =

f(x) sin

dx;

n = 1; 2; : : : :

Ò å î ð å ì à 9.12.

В евклидовом пространстве Q0L2[a; b]

ортогональная система (8.73):

on= 1

inx +1

;

l =

является ортогональным базисом , то есть для любой функции f(x) 2 Q0L2[a; b] имеет место равенство

+1	inx
L2
X
f(x) =	cne l :
n= 1

При этом коэффициенты Фурье		c	+1
формулам	b		n n= 1 вычисляются по
cn = 2l Za	f(x)e		l dx:
1			inx

254	Часть III. Ряды Фурье

9.7. Вопросы для повторения

èсамостоятельной работы

1.Получить из (9.3) формулы (9.6).

2.Доказать лемму 3 на с. 223.

3.Установить равенство нулю предела (9.11).

4.Получить свойства (9.16) ядра Дирихле.

5.Убедиться в справедливости формулы (9.19).

6.Установить равенство (9.28).

7.Убедиться в справедливости формул (9.34).

8.Получить все свойства (9.40) ядра Фейера.

9.Пусть для функции f(x) 2 C [ ; ] в некоторой точке x0 2 [ ; ] е¼ ряд Фурье сходится к числу A. Доказать, что A = f(x0).

10.Вывести равенство Парсеваля (9.54).

11.Доказать базисность системы синусов sin nx 1n=1(òå- орема 9.8).

12.	Вывести равенство Парсеваля для систем		cos nx			1
	è	sin nx n1=1.				n=0
13.			e	inx	+1
	Вывести равенство Парсеваля для системы				n= 1.

14.Доказать теоремы 9.10, 9.11, 9.12 и вывести для каждого ортогонального базиса в них равенство Парсеваля.

Приложение

Варианты домашних заданий

256																								Приложение
1. Исследовать знакоположительный ряд на схо-
димость.
1.	1													10.	1			n						n 1
1.	n=3 (ln ln1n)ln n .													10.	n=1	4n+ 11								.
	X														X
	1	n2 + 1													1	1
2.	X										.			11.	X
2.	n=1	2n 1 + 1									.			11.	n=3	(ln n)ln ln n .
	n=1														n=3
3.	1	2n1+1							1				n 1	12.	1	1
3.	n=1	2n1+1			1 + n								.	12.	n=1 n n n .
	X														X		p
	1	1													1
4.	X		sin						.					13.	X	sin				.
4.			sin				n		.					13.		sin			n	.
	n=1	n					n								n=1				n
	n=1														n=1
	1			n											1					1
	X														X
5.	X	2n				n .								14.	X	n ln(n + 1) .
	n=1														n=1
6.	1	2n 1 .												15.	1	2n sin
	X														X
	n=1	5n + 1													n=1						3n .
	n=1														n=1
	1	1													1
7.	X		cos						.					16.	X	3n sin							.
7.			cos					n	.					16.		3n sin						n	.
	n=1	n						n							n=1					2
	n=1														n=1
8.	1									n .				17.	1										.
8.	n=1 ln 1 +									n .				17.	n=1 ln n ln 1 + n2										.
	X											.			X
9.	1	1							3					18.	1	1
9.	n=1 n ln				1 + n									18.	n=2 (ln n)ln n .
	X														X

Варианты домашних заданий


19.	1	ln n		e	.
19.	n=1	n	ln 1 + n		.
	X
	1
20.	1	n
20.	n=1	pen 1 .
	X

1en n!

21.nn .X

	n=1
	1	2p		+ 1
	1	2p	n	+ 1
22.	X					.
		p
		p	n		+ 1
	n=1	5			+ 1
	1
23.	1	n			1	.
23.					1	.
	n=2	pln2 n
	X
						1
	1 ln				1 +
	1 ln				1 +		n
24.	X							.
24.	n=1	ln (n2 + 1)						.
	n=1

257

	1
25.	X pn					1 .
25.	X pn			2		1 .
	n=1
26.	1	n						1			.
26.	n=2 ln n ln 1 + n										.
	X
	1	n
27.	1	n	n 1							.
	n=1		n 1

		pn n + 1
	X p
28.	1	n			n			.
28.	n=1	n					1	.
		n
		2 p
	X
	1	n
29.	1	n	n 1							.
29.	n=2		n 1							.
	n=2	pln2 n
	X
	1	n
30.	1	n	3 1						.
30.	n=2		3 1						.
	n=2	pln n
	X

2. Исследовать знакопеременный ряд на абсолютную и условную сходимость.

1.	1		1)n		n	n		4.	1		n
	n=1				n				n=2		ln n
	(				1 + 1 .					( 1) .
	X								X
2.	1 (		1)n 1(n + 1)				.	5.	1			1		n2
2.	n=1	n2		+ n + 1			.	5.	n=1	( 1)n 1 + n				.
	X								X
3.	1			1 n		n2		6.	1	( 1)n 1 +		( n		n	n
3.	n=1( 1)n			1 n			.	6.	n=1	( 1)n 1 +		( n			.
	X				1				X				1)

258	Приложение

7.	n=2 ln			"1 + ( 3					n2		#.
	1								1)n
	X					p
8.	1		( 1)n n .
	X
	n=2			ln n
	n=2
	1			n	n2
9.	X	(		1)	3 n
					3 n
					p			.
					p			.
	n=1											#.
10.	n=2 lnn "1 + ( 3 n											#.
	1									1)n
	X
11.	1							p					.
	1							p
	n=1( 1)n ln 1 + n2
	X
12.	1								1			.
12.	n=1 cos n +								2n2			.
	X			"1 + ( 3
13.	n=2 ln			"1 + ( 3					n		#.
	1								1)n
	X						p						n
	X						p						n
14.	1								2		.
14.	n=1	ln 1 + n									.
	X			2 + 3n
15.	1								n
15.	n=1
	X
16.	1
16.	n=1 sin n + n 2 n .
	X									p

1	n ln n
X

17.		( 1)
17.	n=1	( 1)			n2 .
	n=1
18.	1										1)n			n2
18.	n=1( 1)n 1 + ( n													.
	X
19.	1									1)n		.
19.	n=2 lnn 1 + ( n											.
	X
20.	1								.
20.	n=4 lnn 1 n3								.
	X
	1			( n)n
21.	X
21.	X	(2n 1)n 1 .
	n=1
22.	1												.
22.	n=4( 1)n ln 1 n3												.
	X
23.	1		( 1)n n				.
	n=1		5n		2
	n=1
	X
24.	1	( 1)n n .
	X
	n=2		ln2 n
	n=2
25.	1							1)n			.
25.	n=2 ln 1 + ( n										.
	X
26.	1		( 1)n n .
	X

		pn3				1
	n=2

Варианты домашних заданий

259

27.

( 1)n

ln n

29.

n=1

n .

n=1

( 1)n 1 n .

lnn "1 +

28.

n + 1 .

30.

( 3 n2

1)n

n=1

n=2

3. Найти множества абсолютной и условной сходимости функционального ряда, точнее, всю числовую ось (1; +1) разбить на четыре непересека-

ющихся множества: множество, где ряд не определ¼н; множество, где ряд расходится ; множество, где ряд сходится абсолютно ; и, наконец, множество, где ряд сходится условно . При этом надо учесть, что некоторые из этих множеств могут быть пустыми.

		1		n2
1.	1	1
1.	1	1	n
	X
	n=1	xn .
	n=1
2.	1	(n2 1) xn .
	X

3 n2 + 1 (1 + xn)

n=1

1chn x

6.n=1( 1)n 2npn .

1pn2 + 2

7.(n2 + 1) xn .

n=1

1	n	nenx
X	( 1)	p
3.	( 1)	p	n3 + 3	.
n=1
1	nxn arcctg n
X

4.
		1 + x2n .

	n=1

5.X (n!)2 arctgn x. (2n)!1

n=1

8.	1	(n!)22	shn x.
	X
	n=1	en
	n=1
	1	(n 1)		3
	X	(n 1)

9.(3n 2n)x3n .

n=1
1	2		n2
10.	(1 n) x		.
X	3
	p
n=1	p	n
n=1

260	Приложение

	1		p
11.	1	( 1)n x		n	.
	X
	X	xn	1

n=1

21.( 1)n

n=1

x n

n + ln n .

1 p

12.

22.

n=1 xn2! .

n=1

1+x2n

arccos 1 n

1)n

1+x

1 1 n

13.

(

23.

xn(2x

1)n

n=1

2 n

n=1 n! e

14.

24.

# .

nx3n .

n=1

n x

1 ( 1)

x 2

15.

25.

( 1)

x .

n=1

xn .

n=1 n + ln n 2x

1 (

1)n e xp

16.

26.

1)n

n=1

n .

n=1

( n

1+ n

enx.

17.

(

27.

1)n x

( 1)

n=1

2n .

n=1

(n + x2) ln(n + x4 )

n thn x

18.

28.

(x + 1)n2 ln(n + 1)

n=1

19.

(

3)n sin

29.

( 1)n tg

n=1

n .

n=1

x2n

2n(n + 1)

20.

( 1)

cos

30.

( 1)

sin nx

n=1

(n + 2) ln(n + 1)

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2826 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ

#
17.05.20241.97 Mб42Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013.pdf
#
17.05.20241.47 Mб8Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013.pdf
#
17.05.202418.7 Mб3PrilepkoAI_Tenzornaya_algebra_i_samosopryazhennye_operatory.pdf
#
17.05.20241.91 Mб2Sandakov_Nachala_tenzornogo_ischisleniya_Metodicheskie_rekomendacii_2009.pdf
#
17.05.2024947.59 Кб20Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021.pdf
#
17.05.2024951.32 Кб0Zadania_na_ekvivalentnost_Ryady.pdf
#
17.05.20244.66 Mб1АнтиДем3сем.pdf