Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

òî åñòü kf Tnk2 < ". Следствие доказано.

Теорема Вейерштрасса 9.6 говорит о том, что любую непрерывную периодическую функцию можно с любой степенью точности приблизить тригонометрическими много- членами. Имеется и другая теорема Вейерштрасса, говорящая о том, что любую непрерывную на отрезке функцию (не обязательно имеющую равные значения на концах, то есть, возможно, становящуюся разрывной после периодического продолжения) можно с любой степенью точности приблизить алгебраическими многочленами. Однако эта теорема в данном курсе не используется, и поэтому мы е¼ устанавливать не будем.

9.5.Базисность тригонометрических систем

Òе о р е м а 9.7. Ортонормированная тригонометрическая система (8.29):

è C L2[ ; ] совпадают как множества (они состоят из одних и тех

же функций), совпадают как линейные пространства (сложение и умножение на числа в них одни и те же , но различаются как линейные нормированные пространства (норма функции в них определена по-разному ).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Пусть функцияf(x)2Q0L2[ ; ]. Следовательно, она ограничена, то есть существует M > 0, что

Запишем точки разрыва функции f(x) (включая концы отрезка [ ; ]) в порядке возрастания:

= x0 < x1 < < xm 1 < xm = :

Обозначим

Теперь установим замкнутость ортонормированной системы (8.29) в евклидовом пространстве Q0L2[ ; ]. Для этого рассмотрим функцию

>

>

:

Так как в тех точках, где f (x) 6=f(x), функция f (x) яв-

ляется линейной функцией, а линейная функция достигает своего экстремума на концах промежутка, то из (9.47) следует, что

Функция f (x), согласно е¼ определению, непрерывна на [ ; ], и f ( ) = f ( ), следовательно,

f (x) 2 C L2[ ; ] Q0L2[ ; ]:

Оценим, насколько отличаются друг от друга функции f(x) и f (x) по норме пространства Q0L2[ ; ]. Учитывая ограниченность обеих функций и определение числа , имеем

ортогональными базисами

ñòâà Q0L2[0; ], то есть для любой f(x) 2 Q0L2[0; ] имеют место равенства

является ч¼тной на [ ; ] и, согласно формулам (9.55), на отрезке [0; ] отличается от функции f(x) не более, чем в

Последнее соотношение означает, что ортогональная система cos nx 1n=0 замкнута в пространстве Q0L2[0; ] и, стало

быть, является ортогональным базисом этого пространства. Для системы синусов sin nx 1n=1 доказательство совер-

шенно аналогичное. Надо лишь для произвольной функции f(x) 2 Q0L2[0; ] рассмотреть не функцию (9.55), являющуюся е¼ ÷¼òíûì продолжением, а íå÷¼òíîå продолжение функции f(x):

Теорема доказана.

Т е о р е м а 9.9. Ортогональная система экспонент с мнимыми показателями (8.38):

einx +1 n= 1

является ортогональным базисом евклидова пространства Q0L2[ ; ], то есть для любойf (x) 2 Q0L2[ ; ] справедливо равенство

Д о к а з а т е л ь с т в о. Вначале сообщим, как вычисляются последовательные частичные суммы ряда чальной суммой является слагаемое

+c 1 + c2 + c 2 и так далее. Однако для ряда по экспонентам с мнимыми показателями (9.58) поступают несколько по-другому: начальной суммой является слагаемое c0, ñëå- дующей суммой сразу c0 + c1eix + c 1e ix, затем c0 + c1eix + +c 1e ix + c2e2ix + c 2e 2ix и так до бесконечности.

Приступим теперь непосредственно к доказательству теоремы 9.9. Согласно равенству (9.53), полученному при до-

казательстве следствия о базисности ортогональной тригонометрической системы 1; cos nx; sin nx 1n=1, имеем

Подставляя в это равенство формулы Эйлера