Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

n2 сходится соглас-

C [ ; ] \ Q01[ ; ]. Ðÿä

n2 сходится соглас-

но (2.12), а сходимость ряда

X jan(f0)j2 + jbn(f0)j2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

1.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2824 25 26 27 28 > Следующая >>>

9. Тригонометрические ряды Фурье

231

Т е о р е м а 9.2 (о равномерной сходимости ряда Фурье). Для всякой функции f(x) 2 C [ ; ] \ Q10[ ; ] е¼ триго-

нометрический ряд Фурье

a (f)	1	an(f) cos nx + bn(f) sin nx	[	; ]
02	+ n=1	an(f) cos nx + bn(f) sin nx		f(x): (9.26)
	X

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Рассмотрим произвольную функцию f(x) 2 C [ ; ] \ Q10[ ; ]. Согласно только что до-

казанной теореме 9.1 о поточечной сходимости, ряд, стоящий в левой части (9.26), то есть тригонометрический ряд Фурье функции f(x), для любого x 2 [ ; ] сходится к

f(x). Поэтому достаточно установить равномерную сходимость этого ряда. Пусть n > 1. Применяя формулу инте-

f(x) cos nx dx =

грирования по частям, имеем an(f) = Z

= f(x)

n n 0

, òî åñòü

n Z

(x) sin nx dx =

)

sin nx

bn(f0)

an(f) =

; n = 1; 2; : : : :

(9.27)

Совершенно аналогично можно найти связь между коэффициентами bn(f) è an(f0):

bn(f) =	an(f0)	; n = 1; 2; : : : :	(9.28)
	n

Поэтому, используя ограниченность косинуса и синуса для вещественных значений аргумента, равенства (9.27) и (9.28) и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получаем, что n-й член ряда (9.26) для

232 Часть III. Ряды Фурье

всех x2[ ; ] допускает оценку jan(f) cos nx+bn(f) sin nxj6

6jan(f)j+jbn(f)j= n		jan(f0)j+n jbn(f0)j6		2	jan(f0)j2 + n2 +
1		1		1	1

	1	jbn(f0)j2	1		, которую можно записать в виде
+			+
	2			n2
						1			1
jan(f) cos nx+bn(f) sin nxj6							jan(f0)j2	+jbn(f0)j2	+		; (9.29)
						2				n2

справедливого для всех x 2 [ ; ] и для любой функции

n=1

ет из неравенства Бесселя для коэффициентов Фурье функции f0(x) 2 Q0L2[ ; ] по ортогональной системе (8.26) 1.

Поэтому тригонометрический ряд (9.26) на отрезке [ ; ]

мажорируется сходящимся числовым рядом и, следовательно, по признаку Вейерштрасса (см. теорему 5.5) сходится на этом отрезке равномерно. Теорема доказана.

Т е о р е м а 9.3 (почленное дифференцирование ряда Фурье). Пусть функция f(x) 2 C [ ; ] \ Q10[ ; ], à å¼ òðè-

гонометрический ряд Фурье имеет вид

	a (f)	1	an(f) cos nx + bn(f) sin nx : (9.30)
f(x) = 02		+ n=1
		X

1Если решить задачу 24 из 8-го раздела (см. с. 218), то получим, что интересующее нас неравенство Бесселя принимает вид

	) 2	1
f	) 2	1				1	Z
ja0( 0	j	+ n=1	jan(f0)j2	+ jbn(f0)j2	6			jf0(x)j2dx:
2		+ n=1	jan(f0)j2	+ jbn(f0)j2	6			jf0(x)j2dx:
		X

9. Тригонометрические ряды Фурье

233

Тогда ряд Фурье для производной f0(x) можно получить из ряда (9.30) почленным дифференцированием:

1	nbn(f) cos nx nan(f) sin nx :	(9.31)
f0(x) n=1
X

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Как уже отмечалось при доказательстве предыдущей теоремы, функция f0(x)2Q0L2[ ; ]

(разумеется, после осреднения функции f0(x) в точках е¼

разрыва, к которым, естественно, причисляются и концы отрезка [ ; ]). Рассмотрим ряд Фурье функции f0(x):

f0(x)	a (f	)	1	an(f0) cos nx + bn(f0) sin nx :
f0(x)	0 2 0		+ n=1	an(f0) cos nx + bn(f0) sin nx :
			X

Нулевой коэффициент Фурье в этом соотношении a0(f0) =

f0(x) dx =

f(x)

= 0, òàê êàê

= Z

f( )

)

функция f(x) 2 C [ ; ], а из равенств (9.27) и (9.28), полученных при доказательстве теоремы 9.2, вытекает, что

an(f0) = nbn(f); bn(f0) = nan(f); n = 1; 2; : : : :

Поэтому соответствие тригонометрического ряда в (9.31) производной f0(x) справедливо. Теорема доказана.

Отметим, что в этой теореме речь ид¼т лишь о способе получения ряда Фурье для функции f0(x), если известен

ряд Фурье функции f(x) 2 C [ ; ] \ Q10[ ; ]. Вопрос о сходимости полученного ряда (9.31) в каком бы то ни было смысле здесь не рассматривается.

Т е о р е м а 9.4 (порядок убывания коэффициентов Фурье). Пусть функция f(x) такова, что для некоторого це-

лого m > 0 функции

f(k)(x) 2 C [ ; ]; k = 0; 1; : : : ; m; f(m)(x) 2 Q10[ ; ]:

234

Часть III. Ряды Фурье

Тогда коэффициенты Фурье

an(f)

bn(f) 1

öèè f(x)

n убывают

n=0 è

n=1 ôóíê-

с ростом

быстрее, чем

nm+1 :

an(f) = o nm+1

;

bn(f) = o

nm+1

;

n ! 1: (9.32)

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Интегрирование по частям фор-

мул для коэффициентов Фурье

an(f) =

f(x) cos nx dx;

n = 0; 1; : : : ;

bn(f) =

f(x) sin nx dx;

n = 1; 2; : : : ;

провед¼нное при доказательстве теоремы 9.2, да¼т (см. равенства (9.27) и (9.28)), что

nan(f) = bn(f0); nbn(f) = an(f0); n = 1; 2; : : : : (9.33)

Проинтегрируем по частям эти формулы m + 1 раз. Если обозначить остаток от деления числа m + 1 на 4 за k (ясно, что k может принимать лишь значения 0, 1, 2 или 3), то в результате интегрирования по частям получим

nm+1an(f)

nm+1bn(f)

	8		bn f		(m+1)	;	k = 1;
	>	an f			(m+1)	;	k = 0;
=	>				(m+1)	; k = 2;
	>	an f				; k = 2;
	>
	<		bn f(m+1)			;
	>		bn f(m+1)			;	k = 3;	(9.34)
	>		b	f	(m+1)	;	k = 0;
	>		b	f		;	k = 0;
	:			n
	8	an f(m+1)				;	k = 1;
	>
	>
	>

=> bn f(m+1) ; k = 2;

: an f(m+1) ; k = 3:

9. Тригонометрические ряды Фурье

235

Но так как функция f(m+1)(x) 2 Q0L2[ ; ], то из неравенства Бесселя для этой функции по тригонометрической системе (8.26) и необходимого признака сходимости числовых рядов имеем, что

lim a	n	f(m+1)		= lim a	n	f(m+1)	= 0:	(9.35)
n!1	n			n!1	n

Из (9.34) и (9.35) вытекает (9.32). Теорема доказана.

9.4.Метод Фейера суммирования тригонометрических рядов Фурье

Теорема 9.2, доказанная в предыдущем пункте, говорит о том, что достаточными условиями равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье к раскладываемой функции f(x) является одновременное выполнение двух условий:

во-первых, f(x) 2 C [ ; ] (функция f(x) непрерывна на отрезке [ ; ] и после периодического продолжения на всю числовую ось (1; +1) также оста¼тся непрерывной), а во-

вторых, f(x) 2 Q10[ ; ] (функция f(x) кусочно-гладкая, то есть обладает кусочно-непрерывной производной f0(x),

имеющей не более чем конечное число точек разрыва, при- ч¼м все эти точки разрыва первого рода). Первое условие не только достаточно, но и необходимо: действитель-

но, если тригонометрический ряд (9.1) сходится равномерно на [ ; ], то и сумма этого ряда f(x) 2 C [ ; ] (так

как все его слагаемые принадлежат C [ ; ]). Второе же

условие необходимым не является и может быть ослаблено. Однако целиком отбросить его нельзя. Дело в том, что ещ¼ в 1876 г. дю Буа-Реймон1 построил пример функции

1P. Du Bois-Reymond. Untersuchungen uber die Convergenz und Divergenz der Fourierschen Darstellungs rmen // Abhadl. Akad. Wissensch. Munchen, 1876, T. 12, S. 1 103.

236 Часть III. Ряды Фурье

f(x) 2 C [ ; ], ряд Фурье которой расходится в некото-

рых точках.

Для того чтобы по ряду Фурье функции f(x)2C [ ; ] восстановить породившую его функцию f(x), Фейер предло-

жил применить к ряду Фурье метод суммирования средних арифметических , рассмотренный нами ранее (см. раздел 4). Этот метод получил название метода Фейера. Он состоит в следующем. Рассмотрим n-ю частичную сумму Sn(x; f) òðè-

гонометрического ряда Фурье функции f(x) и представим е¼ через ядро Дирихле (см. (9.14) и (9.15)):

			n
			Xk
Sn(x; f) =	a0	+	(ak cos kx + bk sin kx) =
Sn(x; f) =	2	+	(ak cos kx + bk sin kx) =
	2		=1
	Z		(9.36)

=f(x + y)Dn(y) dy:

Введ¼м n-ю сумму Фейера как среднее арифметическое ча- стичных сумм ряда Фурье:

	1			n
	1			Xk

	n(x; f) = n + 1
	n(x; f) = n + 1			Sk(x; f):
				=0

Из (9.36) следует, что n(x; f) можно записать в виде

=f(x + y) n(y) dy;

ãäå	n
1	n
1	Xk

n(y) = n + 1
n(y) = n + 1	Dk(y)	(9.38)
	=0

00 ïî

9. Тригонометрические ряды Фурье

237

ядро Фейера. Преобразуем ядро Фейера подобно ядру Ди-

рихле (см. преобразования на

с. 227). Используя (9.18),

из (9.38) имеем n(y) =

sin

+ sin

n + 1

2 sin

+ + sin

n +

= (умножим и разделим на 2 sin

ïðè

y 6= 2m,

ãäå m 2

Z) =

2 sin

sin

4 (n + 1) sin2

+2 sin 2 sin

32 + +2 sin

2 sin n +

4 (n+1) sin2 y2

1 cos y + cos y cos 2y + + cos ny cos(n + 1)y

1 cos(n + 1)y

, à òàê êàê 1

cos(n + 1)y = 2 sin2

n + 1

4 (n + 1) sin2

то окончательно получаем

n + 1

sin

n(y) =

(9.39)

2 (n + 1)B

sin 2

Подобно формуле (9.18) для ядра Дирихле, только что полученной формуле (9.39) для ядра Фейера, выведенной при y 6= 2m (m 2 Z), можно придать смысл и при y = 2 m, если и здесь найти предел правой части равенства (9.39) при

y ! 2 m. В самом деле, раскрывая неопредел¼нности

238	Часть III. Ряды Фурье

правилу Лопиталя, нетрудно убедиться, что в этом случае пределы

n + 1

sin

n + 1

;

lim

m = 0;

2; : : : :

y!2 m 2 (n + 1)

sin 2

Отметим, подобно свойствам ядра Дирихле (9.14), сле-

дующие свойства ядра Фейера (9.38):

n(y) > 0;

2: n(y + 2 ) = n(y);

(

y) =

(y);

(9.40)

n(y) dy = 1;

2 (0; )

Для всякого

последовательность

n(y) '(y) 0, ãäå Y fy : 6 jyj 6 g.

Нетрудно проверить, что первые четыре свойства вытекают из свойств (9.16) ядра Дирихле, а также из (9.38) и (9.39), а последнее свойство из теоремы 5.1 о необходимых и достаточных условиях равномерной сходимости функциональной последовательности, так как

0 6 n(y) 6		1			äëÿ âñåõ y 2 Y :

			2
	4 (n + 1) sin
	4 (n + 1) sin			2
Т е о р е м а 9.5 (теорема Фейера).					Для всякой функции
f(x) 2 C [ ; ] последовательность						n(x; f) n1=0 å¼ ñóìì
		[ ; ]					f(x).
Фейера равномерно на			сходится к

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольную функцию f(x) 2 C [ ; ]. Так как она непрерывна на отрезке

9. Тригонометрические ряды Фурье

239

[ ; ], то она, естественно, ограничена на этом отрезке, то есть найд¼тся такое число M > 0, что

jf(x)j 6 M äëÿ âñåõ x 2 [ ; ].

(9.41)

Впрочем, считая функцию f(x) периодически продолженной с периодом T = 2 на всю числовую ось, можно за-

ключить, что неравенство (9.41) выполняется не только для всех x 2 [ ; ], но и для всех x 2 ( 1; +1). При этом,

так как f(x) 2 C [ ; ] и, следовательно, f( ) = f( ),

то, согласно замечанию на с. 222, периодически продолженная функция непрерывна на ( 1; +1). Стало быть, она

является непрерывной на отрезке [ 2 ; 2 ], и поэтому ðàâ-

номерно непрерывна на этом отрезке. Это означает, что для всякого " > 0 можно найти такое 2 (0; ), что для лю-

áûõ x0 2 [ 2 ; 2 ] è x00 2 [ 2 ; 2 ] таких, что jx0 x00j < справедливо неравенство

jf(x0) f(x00)j <	"	:	(9.42)
	2

Согласно пятому свойству ядра Фейера (9.40) последова-

тельность n(y) '(y) 0, то есть для любого " > 0 найд¼тся номер N, что для всех номеров n > N имеет место неравенство (см. также первое свойство ядра Фейера):

0 6 n(y) <	"	для любого y 2 Y :	(9.43)
	9 M

Итак, для произвольного " > 0 можно указать номер N, что для всех номеров n > N и для любых x 2 [ ; ] модуль разности (см. (9.37) и (9.40), первое и четв¼ртое свой-

ство) допускает оценку jf(x) n(x; f)j =		f(x) n(y) dy
ство) допускает оценку jf(x) n(x; f)j =		f(x) n(y) dy
	Z

240	Часть III. Ряды Фурье

Z	Z

f(x + y) n(y) dy 6 jf(x) f(x + y)j n(y) dy, òî åñòü


jf(x) n(x; f)j 6 I1 + I2 + I3;				(9.44)
ãäå

I1	=	R	jf(x) f(x + y)j n(y) dy;

I2	=	R	jf(x) f(x + y)j n(y) dy;

I3	= R jf(x) f(x + y)j n(y) dy:

Но согласно первому и четв¼ртому свойствам ядра Фейера (9.40), а также неравенству (9.42), имеем, что

I2	6 2		n(y) dy 6 2		n(y) dy =	2 ;	(9.45)
I2	6 2	Z	n(y) dy 6 2	Z	n(y) dy =	2 ;	(9.45)
	"		"			"

а из (9.41) и (9.43), кроме того, вытекает, что сумма двух оставшихся интегралов (I1 + I3) допускает оценку

I1 + I3 = jf(x) f(x + y)j n(y) dy 6

6 2M Z	Y	2 < 2	:	(9.46)
	n(y) dy 6 2M 9 "M
		"

Поэтому из (9.44), (9.45) и (9.46) следует, что для произвольного " > 0 можно указать номер N, что для всех но-

меров n > N и для любых x 2 [ ; ] модуль разности

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2824 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ

#
17.05.20241.97 Mб42Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013.pdf
#
17.05.20241.47 Mб8Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013.pdf
#
17.05.202418.7 Mб3PrilepkoAI_Tenzornaya_algebra_i_samosopryazhennye_operatory.pdf
#
17.05.20241.91 Mб2Sandakov_Nachala_tenzornogo_ischisleniya_Metodicheskie_rekomendacii_2009.pdf
#
17.05.2024947.59 Кб20Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021.pdf
#
17.05.2024951.32 Кб0Zadania_na_ekvivalentnost_Ryady.pdf
#
17.05.20244.66 Mб1АнтиДем3сем.pdf