Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам (9.4), (9.5) и (9.6).

Пусть функция f(x) 2 Q0L2[ ; ]. Поставим ей в соответствие тригонометрический ряд

Ряд в (9.7) называется тригонометрическим рядом Фурье

1 1

функции f(x), а коэффициенты an n=0 è bn n=1, вычис- ленные по формулам (9.8), е¼ коэффициентами Фурье .

Иногда коэффициенты Фурье функции f(x) мы будем

1 1

обозначать через an(f) n=0 è bn(f) n=1.

После введения понятия тригонометрического ряда Фурье, естественно, возникают следующие вопросы.

1. Можно ли в (9.7) вместо знака эквивалентности поставить знак равенства хотя бы в смысле L2? Другими словами: будет ли система (8.26) ортогональным (а система (8.29) ортонормированным) базисом в пространстве Q0L2[ ; ]?

2. Какие условия достаточно наложить на функцию f(x),

чтобы е¼ ряд Фурье (9.7) сходился бы к ней поточечно либо равномерно?

9.2.Вспомогательные утверждения. Ядро Дирихле

Ëе м м а 1. Пусть функция (x), определ¼нная на всей числовой оси ( 1; +1) и интегрируемая на любом отрезке [a; b] ( 1; +1), является периодической с периодом T >0,

òî åñòü

(x + T ) = (x) äëÿ âñåõ x 2 ( 1; +1):

(x) dx = (x) dx:

cT2

Äî ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. По аддитивному свойству инте-

= (в последнем интеграле делаем замену x = t + T ) =

Итак, мы видим, что интеграл от периодической интегрируемой функции по отрезку длины периода не зависит от того, где мы возьм¼м этот отрезок. Поэтому в дальнейшем функции, заданные на отрезке [a; b], будем считать пе-

риодически (с периодом T = b a) продолженными на всю

числовую ось и осредн¼нными в точках разрыва первого рода. Ясно, что функция f(x), непрерывная на [a; b] и такая,

что f(b) = f(a), после указанного периодического продолжения сохраняет непрерывность на ( 1; +1).

Л е м м а 2. Пусть для некоторого l > 0 функция '(x), интегрируемая на отрезке [ l; l], является там ч¼тной, то есть '( x) = '(x) для всех x 2 [ l; l]. Тогда

ll

ZZ

'(x) dx = 2 '(x) dx:

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Используя свойства определ¼нно-

ll

RR

+'(x) dx = 2 '(x) dx. Лемма доказана.

00

Ëе м м а 3. Пусть для некоторого l > 0 функция '(x), интегрируемая на отрезке [ l; l], является там неч¼тной, то

есть '( x) = '(x) для всех x 2 [ l; l]. Тогда

l

Z

'(x) dx = 0:

l

Д о к а з а т е л ь с т в о этой леммы совершенно аналогич- но доказательству леммы 2 и поэтому не приводится.

Введ¼м теперь понятие осредн¼нных кусочно-гладких

функций.

Множество Q10[a; b] функций, определ¼нных на отрезке

[a; b], называется множеством кусочно-гладких осредн¼нных функций, если всякая функция f(x) из этого множества в любой точке отрезка [a; b] (за исключением, быть может, ко-

нечного числа точек) непрерывна и имеет непрерывную производную. На исключительном множестве функции f(x) и

f0(x) могут иметь лишь разрывы первого рода. При этом значения самой функции f(x) в точках разрыва (в том числе и в концах отрезка [a; b]) осреднены по формулам (7.7).

Множество Q10[a; b] линейное пространство (нетрудно видеть, что оно является подпространством линейного пространства Q0[a; b]), но мы не будем в н¼м вводить норму или скалярное произведение. Тем не менее функции этого множества мы будем считать периодически продолженными с периодом, равным длине отрезка [a; b] (то есть b a) на всю

числовую ось. Ввиду осреднения значений функции f(x) в точках разрыва и в концах отрезка [a; b] для всякого x из отрезка [a; b] (а с уч¼том периодического продолжения для всякого вещественного x) справедливо равенство

Л е м м а 4 (лемма Римана). Для всякой кусочно-гладкой функции f(x) 2 Q10[a; b] имеют место равенства

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Установим равенство нулю преде-

ла (9.10) (равенство нулю предела (9.11) устанавливается аналогично). Для произвольной функции f(x) 2 Q10[a; b] занумеруем точки разрыва функций f(x) и f0(x) в порядке

= x + y, при этом dt = dy, а пределы интегрирования останутся те же, так как функция f(t) периодически продолже-

называемую ядром Дирихле, то получим выражение частной суммы ряда Фурье через ядро Дирихле:

RR

Используя ч¼тность ядра Дирихле (см. (9.16), второе свойство), запишем равенство (9.15) в несколько ином ви-

Умножив (9.14) при y 6= 2m (m 2 Z) на 2 sin y2 è ïðå-

2 sin y2

Формула (9.18) была выведена из (9.14) при y 6= 2 m, где m 2 Z. Однако можно придать ей смысл и при y = 2 m, ес-

ли в этом случае найти предел правой части равенства (9.18) при y ! 2 m. Действительно, раскрывая неопредел¼нности

00 , например по правилу Лопиталя, нетрудно убедиться, что пределы

Используя формулу (9.18) для ядра Дирихле, привед¼м равенство (9.22) для интеграла I1 к виду (рассмотрение равен- ства (9.23) для интеграла I2 совершенно аналогично):

Так как функция f(x) является кусочно-гладкой, то суще-

Поэтому можно доопределить функцию Gx(y), не определ¼нную при y = 0, е¼ предельным значением при y ! 0 + 0, равным 1 fïð0 (x+0). Из существования предела lim Gx(y) и последующего доопределения функции Gx(y) вытекает е¼ локальная ограниченность в правой окрестности точки y =

= 0, а именно: найдутся 2 (0; ) и M1(x) > 0, ÷òî jGx(y)j 6 6 M1(x) для всех y 2 [0; ). На отрезке [ ; ] функция Gx(y), согласно (9.25), является кусочно-гладкой, поэтому она тоже ограничена, то есть существует M2(x) > 0, ÷òî jGx(y)j 6 M2(x) для всех y 2 [ ; ]. Поэтому функция Gx(y) ограничена на вс¼м отрезке [0; ], так как можно указать

такое M(x) = maxfM1(x); M2(x)g > 0, ÷òî jGx(y)j 6 M(x)

äëÿ âñåõ y 2 [0; ].

230 Часть III. Ряды Фурье

Возьм¼м произвольное " > 0 и рассмотрим для него чис-

"

ëî = min 1; 4M(x) > 0. Разобь¼м интеграл I1, определяемый формулой (9.24), точкой 2 (0; 1] на сумму двух

интегралов I11 è I12:

Модуль функции jGx(y)j на отрезке [0; ], а значит и на отрезке [0; ], ограничен величиной M(x), следовательно, в си-

лу определения числа , модуль первого слагаемого jI11j 6

"

6 M(x) 6 4 . На отрезке [ ; ] функция Gx(y) является

кусочно-гладкой, поэтому, согласно лемме Римана, предел

второго слагаемого lim I12 = 0, то есть для всякого " > 0

n!1

найд¼тся номер N1, что для всех номеров n > N1 модуль

"

jI12j < 4 . Таким образом, для всякого " > 0 найд¼тся номер N1, что для всех номеров n > N1 модуль jI1j 6 jI11j + jI12j <

"" "

<4 + 4 = 2 . Аналогичные рассмотрения интеграла I2, çà- даваемого равенством (9.23), приводят к тому, что для вся-

кого " > 0 найд¼тся номер N2, что для всех номеров n > N2 модуль jI2j < 2" . Итак, мы имеем, что для всякой функции

f(x) 2 Q10[ ; ] для любого x 2 [ ; ] и для произвольного " > 0 найд¼тся номер N = maxfN1; N2g, что для всех номеров n > N модуль разности jf(x) Sn(x; f)j 6 jI1j + jI2j <

= f(x). Теорема доказана.