Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

Q0L2[a; b]. Оно с первого взгляда может показаться несколько преждевременным, так как мы пока ещ¼ не располагаем ни одним примером ортонормированного базиса этих пространств. Однако, забегая впер¼д, сообщим, что в следующем разделе, посвящ¼нном тригонометрическим рядам Фурье, будет установлено, что все ортонормированные тригонометрические системы, привед¼нные здесь в примерах, на самом деле являются ортонормированными базисами (а ортогональные системы, соответственно, ортогональными ба-

зисами).

Итак, пусть 'n(x) 1n=1 ортонормированный базис ка- êîãî-ëèáî пространства: CL2[a; b], C L2[a; b] èëè Q0L2[a; b].

Это означает, что всякая функция f(x) из этого пространства является суммой ряда Фурье

n=1

сходящегося к f(x) в смысле L2. Для любого t 2 (a; b) рассмотрим функцию

8

1; a < x < t;

>

>

<1

gt(x) = >2 ; x = a; x = b; x = t;

>

: 0; t < x < b:

Согласно обобщ¼нному равенству Парсеваля (8.60), скалярное произведение

1

X

(f; gt) = (f; 'n)('n; gt);

n=1

или, записывая скалярное произведение функций в виде интеграла,

Íî f(x)gt(x) dx = f(x)gt(x) dx = f(x) dx, аналогично

RR

'n(x)gt(x) dx = 'n(x) dx. Поэтому

Сравнивая (8.64) и (8.65), мы видим, что ряд Фурье по ортонормированному базису, сходящийся лишь в смысле L2, можно почленно интегрировать . При этом получается по крайней мере поточечно сходящийся ряд.

Очевидно, что ряд Фурье по ортогональному базису также можно почленно интегрировать.

8.5. Вопросы для повторения

èсамостоятельной работы

1.Установить, что если в комплексном евклидовом пространстве первую аксиому оставить такой же, как и в

вещественном евклидовом пространстве, то полученная система аксиом станет противоречивой.

2.Из первой аксиомы комплексного евклидова пространства вывести, что для всякого x 2 E скалярное произведение (x; x) вещественное число.

3.Из аксиом комплексного евклидова пространства вывести, что для любых x 2 E, y 2 E и любого комплексного числа справедливо равенство

4.Из аксиом евклидова пространства (как вещественного, так и комплексного) вывести, что для любых тр¼х элементов x 2 E, y 2 E, z 2 E справедливо равенство (8.5).

5.Из аксиом евклидова пространства вывести, что для любого элемента x 2 E скалярные произведения

(x; ) = ( ; x) = 0;

то есть нулевой элемент ортогонален любому элементу евклидова пространства.

6.Доказать теорему 8.1 (неравенство Коши Буняковского) для вещественного евклидова пространства.

7.Установить, что если в неравенстве Коши Буняковского (8.7) для пары элементов x 2 E и y 2 E реализуется равенство, то элементы x и y линейно зависимы в пространстве E.

8.Установить, что формула (8.12) зада¼т норму и в вещественном евклидовом пространстве.

9. Доказать, что линейное пространство l2 числовых ря-

1

äîâ a P an с комплексными слагаемыми и таких,

n=1

1

÷òî ðÿä P janj2 сходится (см. с. 185 186, задачи 7 и 8

n=1

предыдущего раздела), становится евклидовым пространством, если ввести в н¼м скалярное произведение

по формуле

1

X

(a; b) anbn:

n=1

При этом норма, введ¼нная формулой (7.42), согласована с этим скалярным произведением.

10.Установить, что евклидово пространство l2 является полным (то есть гильбертовым).

11.Установить, что сч¼тная дистрибутивность скалярного произведения (следствие из теоремы 8.2) имеет место

и по первому сомножителю, точнее, доказать, что если

1

ðÿä P xn сходится в евклидовом пространстве E, то

n=1

для всякого элемента y 2 E справедливо равенство

11

XX

13.Получить многочлены Лежандра (см. с. 198) до многочленов пятой степени включительно.

14.Вычислить интегралы (8.27) и (8.28) и тем самым убедиться, что тригонометрические системы (8.26) и (8.29) являются соответственно ортогональной è ортонор-

мированной системами в евклидовых пространствах

CL2[ ; ], C L2[ ; ] è Q0L2[ ; ].

15.Вычислить интегралы (8.31) и (8.32) и тем самым убедиться, что системы косинусов (8.30) и (8.33) являются соответственно ортогональной è ортонормированной системами в евклидовых пространствах CL2[0; ],

C L2[0; ] è Q0L2[0; ].

16.Вычислить интегралы (8.35) и (8.36) и тем самым убедиться, что системы синусов (8.34) и (8.37) являются соответственно ортогональной è ортонормированной системами в евклидовых пространствах CL2[0; ],

C L2[0; ] è Q0L2[0; ].

17.Вычислить интегралы (8.39) и (8.40) и тем самым убедиться, что системы мнимых экспонент (8.38) и (8.41) являются соответственно ортогональной è ортонор-

мированной системами в комплексных евклидовых пространствах CL2[ ; ], C L2[ ; ] è Q0L2[ ; ].

18.Установить, что тригонометрическая система

является ортогональной системой, а нормированная система

ортонормированной системой в комплексных евклидовых пространствах CL2[a; b], C L2[a; b] è Q0L2[a; b].

kgnk2 . Это да¼т возможность ввести ряды Фурье по ортогональной системе, используя формулу (8.45).

23. Установить, что общее неравенство Бесселя для орто-

1

гональной системы gn n=1 имеет вид (8.53).

24.Записать общее неравенство Бесселя для тригонометрических систем в соответствующих евклидовых пространствах.