Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

После доказательства теоремы 8.4 можно ввести следую-

щее понятие. Если

n=1 некоторая ортонормированная

евклидовом пространстве

, то любому элементу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

1.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2821 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

значения, ибо einx

8. Евклидовы пространства

201

то нормированная на отрезке [0; ] система тригонометри-
ческих функций
(r		1	(8.37)
(r	sin nx)n=1		(8.37)
	2

является ортонормированной системой в евклидовых пространствах CL2[0; ], C L2[0; ] è Q0L2[0; ].

5. Рассмотрим в евклидовых пространствах CL2[ ; ],

C L2[ ; ] è Q0L2[ ; ] систему
e	inx	+1	(8.38)
e		n=1:

В отличие от предыдущих примеров, которые мы можем рассматривать как в вещественных, так и в комплексных пространствах, эту комплекснозначную систему (она состоит из функций вещественного аргумента x, но принимает

комплексные = cos nx + i sin nx) нужно

рассматривать лишь в комплексных евклидовых пространствах. Система (8.38) ортогональна, поскольку скалярные произведения


(einx; eimx) = R einx			dx = R einx e imx dx = 0
	eimx				(8.39)
для всех n 2 Z и m 2 Z, таких, что m 6=n. Так как

R jeinxj2 dx = 2				äëÿ âñåõ n 2 Z,	(8.40)
то нормированная на отрезке [ ; ] система функций
		einx		+1
		p		n=1	(8.41)
			2

является ортонормированной системой в рассматриваемых сейчас комплексных евклидовых пространствах CL2[ ; ],

C L2[ ; ] è Q0L2[ ; ].

202	Часть III. Ряды Фурье

8.4.Ряды Фурье в евклидовом пространстве

Âэтом пункте будет рассмотрено понятие ряда Фурье в евклидовом пространстве и связанные с этим понятия. Изложение будет вестись для рядов по ортонормированным системам в комплексном пространстве. Варианты соответствующих утверждений для ортогональных систем (есте-

ственно, не содержащих нулевого элемента )1 èëè äëÿ âå-

щественного пространства вынесены в виде задач в вопросах для повторения и самостоятельной работы.

Т е о р е м а 8.4. Пусть		en	1	E
стема в евклидовом				E
			n=1 ортонормированная си-
	пространстве , и ряд по этой системе
сходится к элементу x 2 E:
		1
		X
	x =		nen:		(8.42)
		n=1
Тогда
n = (x; en);			n = 1; 2; : : : :		(8.43)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя сч¼тную дистрибутивность скалярного произведения, из (8.42) получаем (x; en) =

1	kek; en	=	1	en	1
=	kek; en	=	k(ek; en) = n, òàê êàê	en	1
P			P		n=1 îðòî-
k=1			k=1

нормированная система. Следовательно, соотношения (8.43) выполняются. Теорема доказана.

1В дальнейшем, если специально не оговорено, будем считать, что ортогональная система не содержит нулевых элементов и поэтому, согласно теореме 8.3, является линейно независимой.

kgnk2

8. Евклидовы пространства

203

x 2 E можно поставить в соответствие ряд по этой системе:

1
X
x nen; ãäå n = (x; en):	(8.44)

n=1

Ряд в (8.44) называется рядом Фурье элемента x, а последо-

вательность чисел		n	1		gn 1
Ряд Фурье		x			gn 1
имеет вид:			n=1 åãî коэффициентами Фурье .
имеет вид:					n=1
	элемента			ïî ортогональной системе
	x	1			(8.45)
	x	cngn; ãäå cn = (x; gn) :			(8.45)
		X

n=1

Нетрудно видеть, что если kgnk = 1 для всех n = 1; 2; : : :, то (8.45) переходит в (8.44).

Разумеется, ряд Фурье элемента x вовсе не обязательно сходится к элементу x. Теорема 8.4 говорит лишь о том, что если ряд по ортонормированной системе сходится к x, то это обязательно ряд Фурье элемента x по этой системе. Поэтому возникает естественный вопрос: когда для любого x 2 E

в (8.44) или в (8.45) можно вместо знака соответствия поставить знак равенства? Другими словами, какие условия надо наложить на ортонормированную (ортогональную) систему, чтобы ряд Фурье любого элемента был сходящимся к этому самому элементу? Или, короче, когда ортонормированная (ортогональная) система будет ортонормированным (ортогональным) базисом евклидова пространства? Для ответа на этот вопрос предварительно получим следующее свойство коэффициентов Фурье.

Т е о р е м а 8.5 (минимальное свойство коэффициентов
Фурье). Пусть		en	1	E		x 2 E		k = (x; ek)
клидовом				E		x 2 E		k = (x; ek)
			n=1 ортонормированная система в ев-
	пространстве				, элемент		, à		, ãäå

204 Часть III. Ряды Фурье

k = 1; 2; : : : его коэффициенты Фурье. Тогда для любо-

место неравенство		n
место неравенство		k k=1 имеет
го натурального n и любого набора n чисел
n	n

x k=1	kek		6	x k=1	kek	;	(8.46)

прич¼м это неравенство переходит в равенство тогда и только тогда, когда

k = k;

äëÿ âñåõ k = 1; 2; : : : ; n:

(8.47)

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Используя

свойства

скалярного

произведения и тот факт, что система

jej

рованная, имеем

kek

2 = x

knek; x

=1 ортонорми-

k=1

j=1

= (x; x)

P P

k(ek; x) j (x; ej) +

k j (ek; ej) =

j=1

k=1 j=1

| {zk } +

= ( )

k k

k k +

x; x

P n

x 2

P n

k=1

P n

j kj

k +

j kj

òî åñòü

k=1

}

k=1 j

k{z kj2

kek

= kxk2

j kj2 +

j k kj2:

(8.48)

k=1

заданы, то

и сумма

n=1 и элемент x 2 E

Так как система

kxk

квадратов модулей коэффициентов Фурье

не зависят от набора n чисел

висит лишь последнее

k=1. От этих чисел за-

слагаемое в равенстве (8.48), а оно

8. Евклидовы пространства

205

принимает сво¼ минимальное значение, равное нулю, тогда и только тогда, когда выполняются âñå n равенств (8.47).

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 8.5 проведено для случая комплексного евклидова пространства. Однако если не обращать внимания на черту комплексного сопряжения, то получится доказательство для вещественного случая.

Если в выведенном при доказательстве теоремы 8.5 равенстве (8.48) положить

k = k; k = 1; 2; : : : ; n;

то получится формула

n		n
x	kek	2 = kxk2 j kj2;	(8.49)
X		Xk


k=1		=1

называемая формулой уклонения . Она показывает, величи- ну погрешности (точнее, квадрат этой величины), с какой n-я частная сумма ряда Фурье элемента x по ортонормиро-

ванной системе	e	1
ìåíò.		n n=1 приближает раскладываемый эле-
Так как левая часть формулы уклонения (8.49) неотри-
цательна, то отсюда, в частности, вытекает, что
n
Xk
j kj2 6 kxk2 äëÿ âñåõ n = 1; 2; : : :.			(8.50)
=1

Последнее неравенство означает (см. теорему 2.1), что зна-
коположительный числовой ряд	1 j kj2 сходится, ïðè÷¼ì
	kP
	=1
1
Xk
j kj2 6 kxk2:		(8.51)
=1

kgkk2

206	Часть III. Ряды Фурье

Неравенства (8.50) и (8.51) называются неравенствами Бесселя. В тех случаях, когда нам не важен верхний предел суммирования (конечное число n или символ 1), эти нера-

венства будем записывать в виде неравенства

j kj2 6 kxk2;

(8.52)

которое также будем называть неравенством Бесселя, но при этом иметь в виду, что индекс суммирования k может

меняться как в конечных пределах, так и до бесконечности.

Общее неравенство Бесселя (8.52) для произвольной ортого-

нальной (не обязательно нормированной) системы gn n=1 и для любого x 2 E, как нетрудно проверить, имеет вид

Xk	jckj2 kgkk2 = Xk		(x; gk)	2
		j	j		6 kxk2;	(8.53)
			kgkk2		6 kxk2;	(8.53)

ãäå ck = (x; gk) коэффициенты Фурье разложения элемен-

та x по системе gn n=1 (ñì. (8.45)).

Запишем теперь общий вид рядов Фурье и неравенства Бесселя для произвольной ортогональной и ортонормиро-

ванной системы в рассмотренных ранее функциональных евклидовых пространствах CL2[a; b], C L2[a; b] è Q0L2[a; b].

Пусть 'n(x) 1n=1 какая-то ортонормированная систе- ма в одном из этих пространств, а f(x) функция того же

пространства. Следуя (8.44) имеем, что функции f(x) ста-
вится в соответствие ряд Фурье по системеb 'n(x) n1=1:
1	ãäå n = (f; 'n) = Z
f(x) n=1 n'n(x);		f(x) 'n(x) dx;
X	a

8. Евклидовы пространства

207

а общее неравенство Бесселя, как видно из (8.52), записывается в виде

j kj2 =

f(x) 'k(x) dx

jf(x)j2 dx:

6 kfk22 = Z

X a

Если же рассмотреть

произвольную

ортогональную си-

стему

n(x)

ðÿä

n=1, то для не¼ из (8.45) и (8.53) получаем, что

Фурье имеет вид

n2) = Ra

f(x)

n(x);

ãäå cn = (f;

b (

) n(x) dx;

n(x) 2 dx

Ra j

а неравенство Бесселя, соответственно,

n=1

ab f(x)

dx 2

k(x)

f(x) 2 dx:

k(x)

Т е о р е м а 8.6 (критерии ортонормированного базиса).

Пусть

n=1 ортонормированная система в евклидовом

пространстве

. Тогда эквивалентны следующие три утвер-

ждения.

1. Система en n=1 ортонормированный базис в E

2. Для всякого x 2 E справедливо равенство

(8.54)

=1 j(x; en)j2 = kxk2;

называемое равенством Парсеваля.

3.Система en n=1 замкнутая система в E.

208	Часть III. Ряды Фурье

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Оно будет проведено по схеме:

1 ) 2 ) 3 ) 1:

Докажем		. Òàê êàê			1
базис, то любой x 2 E					n=1 ортонормированный
	1 ) 2			en	n=1 ортонормированный
		1	единственным образом раскладыва-
		1
ется по базису en n=1:				1
			X
			x =	nen:		(8.55)
			n=1

Согласно теореме 8.4 коэффициенты n = (x; en) для всех натуральных n, и поэтому

1
X
x = (x; en)en:	(8.56)
n=1

Используя сч¼тную дистрибутивность скалярного произве-
дения, из (8.56) получаем kxk2 = (x; x) =	1	=
	n=1(x; en)en; x
	P

=P(x; en)(en; x) = P j(x; en)j2, то есть равенство Парсева-

n=1

ëÿ (8.54).

Докажем 2 ) 3. Согласно формуле уклонения (8.49),

в которой коэффициенты Фурье k = (x; ek), и используя равенство Парсеваля (8.54), имеем

n!1		n		2		n
n!1		k=1	k k	2	= n!1 k k k=1 j		kj
lim	x	X	e		lim x 2	X	2 = 0:

Поэтому для любого " > 0 найд¼тся номер N, что для всех

номеров n > N справедливо неравенство		n	kek	2	<"2,
	x k=1
		P

8. Евклидовы пространства						209
	n
òî åñòü x k=1 kek		< ". Ýòî				1
ìû ðÿäà	P				означает, что частные сум-
				n		n=1 (а не просто какие-то
линейные комбинации
	Фурье по системе		e

элементов этой системы) приближают раскладываемый элемент x с любой степенью точности.

3 ) 1

n=1 замкнута в E

Следовательно, система

n=1 замкнута в E

Докажем

. Так как система

то это значит, что для всякого x 2

" > 0

для любого

найд¼тся натуральное

, подсистема

набор p чисел

nj j=1, ÷òî

enj j=1 en n=1 è

x j=1 nj enj < ":

(8.57)

подсистемы

p чисел

j=1

Обозначив N = max nj

, расширим подсистему

enj

äî

k=1,

k=1, а набор

j=1 до набора

E для любого " > 0 найд¼тся натуральное N,

чисел

добавив туда нули. Тогда получим, что для

всякого

ментов

ýëå-

k=1

подсистема

n=1, состоящая из первых N

исходной системы

N чисел

÷òî

n=1, и набор

k=1,

x k=1

kek < ":

(8.58)

Но тогда согласно теореме

8.5 о минимальном

свойстве ко-

эффициентов Фурье из (8.46) и (8.58) следует, что

x k=1	kek		6 x k=1	kek	< ":	(8.59)

210 Часть III. Ряды Фурье

По формуле уклонения (8.49) числовая последовательность

n	n	1
n		o		x			" > 0
	P			x	2 E		" > 0
	P				2 E
	x k=1 kek	n=1	является убывающей. Итак, мы полу-
чили, что для всякого						для любого		íàéä¼òñÿ

номер N такой, что для произвольного n > N норма разно-

ñòè

x k=1 kek

< ", òî åñòü x = k=1 kek. Единственность

k=1 вытекает из теоремы 8.4. Следова-

коэффициентов

n=1 является орто-

тельно,

ортонормированная система

нормированным базисом в E.

Теорема доказана.

С л е д с т в и е (обобщ¼нное равенство Парсеваля). Пусть

x 2 E y 2 E

n=1 ортонормированный базис евклидова простран-

ства . Тогда для любых

справедливо равен-

ñòâî

(x; y) =

(x; en)(en; y):

(8.60)

n=1

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê

n=1 ортонормиро-

ванный базис , то для любого x

E справедливо разложе-

ние (8.56). Используя сч¼тную дистрибутивность скалярного произведения, из (8.56) получаем

1		1
P		P
(x; y) =	(x; en)en; y =	(x; en)(en; y);
n=1		n=1

то есть обобщ¼нное равенство Парсеваля (8.60). Следствие доказано.

Ясно, что для ортогонального базиса gn n=1 евклидова пространства E также имеют место равенство Парсеваля и

обобщ¼нное равенство Парсеваля, принимающие вид: для

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2821 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ

#
17.05.20241.97 Mб0Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013.pdf
#
17.05.20241.47 Mб2Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013.pdf
#
17.05.202418.7 Mб0PrilepkoAI_Tenzornaya_algebra_i_samosopryazhennye_operatory.pdf
#
17.05.20241.91 Mб0Sandakov_Nachala_tenzornogo_ischisleniya_Metodicheskie_rekomendacii_2009.pdf
#
17.05.2024947.59 Кб0Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021.pdf
#
17.05.2024951.32 Кб0Zadania_na_ekvivalentnost_Ryady.pdf
#
17.05.20244.66 Mб0АнтиДем3сем.pdf