Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

x = . Далее, из второй аксиомы скалярного произведе-

ния и равенства (8.66) (ñì. задачó 3 íà ñ. 214) вытекаеò, p p p

что норма k xk = ( x; x) = (x; x) = j j2(x; x) =

=j j kxk. Наконец, используя аксиомы скалярного произведения и неравенство Коши Буняковского, имеем kx + yk2 =

=(x + y; x + y) = (x; x) + (x; y) + (y; x) + (y; y) = (x; x) +

неравенства треугольника

kx + yk 6 kxk + kyk:

Норма евклидова пространства, которая зада¼тся формулой (8.12), называется нормой, согласованной со скалярным произведением. В дальнейшем, за исключением специально оговоренных случаев, говоря о норме в евклидовом пространстве, мы будем иметь в виду норму, согласованную со скалярным произведением. В терминах этой нормы неравенство Коши Буняковского (8.7) принимает вид

Рассмотрим теперь некоторые п р и м е р ы евклидовых пространств, а именно: функциональные пространства

1)CL2[a; b] ff(x) 2 C[a; b]g;

состоящие из комплекснозначных функций вещественного переменного x 2 [a; b]. Поскольку функции, из которых со-

стоит любое из этих тр¼х пространств являются комплекснозначными, то естественно предполагать, что их можно

Норма в пространствах CL2[a; b], C L2[a; b] è Q0L2[a; b], согласованная со скалярным произведением (8.15) или (8.16), вычисляется по формуле

Отметим, что норма (8.17) частный случай нормы (7.15) при p = 2.

8.2.Сходимость в евклидовых пространствах. Полнота

Так как всякое евклидово пространство E является ли-

нейным нормированным пространством с нормой (8.12), то все понятия и результаты, полученные при рассмотрении линейных нормированных пространств и даже линейных пространств, переносятся и на евклидовы пространства. В частности, в евклидовом пространстве можно рассмотреть понятие линейно независимой системы, последовательности и ряда, их сходимости, установить единственность предела (теорема 7.1) и ограниченность (теорема 7.2) сходящейся последовательности, арифметические свойства сходящихся последовательностей (теорема 7.3), включая непрерывность нормы. Эту теорему в евклидовом пространстве дополним следующими результатами.

kxnk 6 M äëÿ âñåõ n = 1; 2; : : : :

Из (8.18) в силу определения предела вытекает, что для всякого " > 0 найдутся такие номера N1 è N2, ÷òî

Используя свойства скалярного произведения и неравенство Коши Буняковского (8.13), получаем: для любого " > 0 най-

д¼тся такой номер N = maxfN1; N2g, что для всех номеров n > N модуль разности j(xn; yn) (x; y)j = j(xn; yn)

(xn; y) + (xn; y) (x; y)j 6 j(xn; yn) (xn; y)j + j(xn; y)(x; y)j = j(xn; yn y)j + j(xn x; y)j 6 kxnk kyn yk +

11

XX

X

k=1

Согласно дистрибутивности скалярного произведения (ко-

P

=(x; yk), то есть равенство (8.20) справедливо. Следствие

k=1

доказано.

Ясно, что сч¼тная дистрибутивность скалярного произведения имеет место и для первого сомножителя.

Разумеется, понятия замкнутой системы и базиса, введ¼нные для линейных нормированных пространств, сохраняют свой смысл и для евклидовых пространств. Справедлива в них, конечно, теорема 7.4 о линейной независимости элементов базиса.

В евклидовых пространствах, как в любых линейных нормированных пространствах, можно ввести понятие фундаментальной последовательности. Естественно, верна теорема 7.5 о фундаментальности любой сходящейся последовательности. Как линейные нормированные пространства

196 Часть III. Ряды Фурье

евклидовы пространства могут быть полными (в которых всякая фундаментальная последовательность сходится) и неполными. Полное евклидово пространство называется

гильбертовым пространством. Рассмотренные выше функциональные евклидовы пространства CL2[a; b], C L2[a; b] è

Q0L2[a; b] со скалярным произведением (8.15) или (8.16) и нормой (8.17), согласно результатам п. 7.5, являются примерами неполных евклидовых пространств.

8.3.. Определение и примеры ортогональных и ортонормированных систем

Элементы x и y евклидова пространства E называются

ортогональными, åñëè (x; y) = 0.

Тот факт, что элементы x и y ортогональны, иногда обозначают так:

x ? y:

Действительно, если считать элементы евклидова пространства E векторами, то ортогональность ненулевых элементов

x и y (нулевой элемент , как нетрудно видеть, ортогонален

любому элементу евклидова пространства E) означает, что

угол между этими векторами равен 2 , то есть векторы x и y взаимно перпендикулярны.

Система x 2A, состоящая из элементов x 2 E, íà- зывается ортогональной системой в евклидовом простран-

стве E, если для любых 1 2 A è 2 2 A, таких, что 1 6= 2, следует, что x 1 ? x 2 , òî åñòü (x 1 ; x 2 ) = 0.

Система x 2A, состоящая из элементов x 2 E, íà- зывается ортонормированной системой в евклидовом про-

Ясно, что ортонормированная система не содержит нулевых элементов, так как из (8.23) следует, что для всякого

ортонормированная система) является линейно независимой системой.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Для любого натурального n возь-

Умножим равенство (8.24) скалярно на x k, ãäå k =1; 2; : : : ; n. Имеем 0 = ( ; x k ) = ( 1x 1 + + kx k + + nx n ; x k ) = = 1(x 1 ; x k ) + + k(x k ; x k ) + + n(x n ; x k ) =

Теорема доказана.

Разумеется, произвольная линейно независимая система

x 2A не является ортогональной системой. Однако если

1

линейно независимая система xn n=1 ñ÷¼òíàÿ, òî èç íå¼

нацией первых n элементов x1, x2, . . . , xn исходной системы

1

xn n=1. Привед¼м эти хорошо известные формулы, кото-

рые задают так называемый

Шмидту:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Привед¼м п р и м е р ы ортогональных и ортонормированных систем в некоторых евклидовых пространствах.

1. Рассмотрим в евклидовом пространстве CL2[ 1; 1] линейно независимую систему функций fn(x) 1n=0:

fn(x) = xn; n = 0; 1; : : : ;

òî åñòü (ñì. ñ. 185)

f0(x) 1; f1(x) = x; : : : ; fn(x) = xn; : : : :

Ортогонализация этой системы по формулам Шмидта (8.25)

да¼т ортонормированную на отрезке [ 1; 1] систему много-

членов Pn(x) 1n=0 (степень многочлена deg Pn(x) = n), êî- торые называются многочленами Лежандра .

2. Рассмотрим в евклидовых пространствах CL2[ ; ], C L2[ ; ] è Q0L2[ ; ] тригонометрическую систему

1; cos x; sin x; : : : ; cos nx; sin nx; : : : ;

то есть систему

(под каждым из интегралов написано, при каких n и m соот-

ветствующий интеграл обращается в нуль), то тригонометрическая система (8.26) является ортогональной системой в этих пространствах. А так как

является ортонормированной системой в евклидовых пространствах CL2[ ; ], C L2[ ; ] è Q0L2[ ; ].