Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013
.pdfВведение |
11 |
навливается теорема Вейерштрасса о замкнутости тригонометрической системы в пространстве непрерывных периодических функций с равномерной метрикой. В заключение устанавливается базисность общей тригонометрической системы в пространстве кусочно-непрерывных осредн¼нных функций с квадратичной метрикой. Этот результат переносится на неполные тригонометрические системы (система косинусов, система синусов) и на систему мнимых экспонент. Также результаты, полученные для рядов Фурье на традиционно рассматриваемом отрезке [ ; ], переносятся
на произвольный отрезок [a; b].
В конце каждого раздела даются вопросы для повторения изложенного материала и самостоятельной работы. В отдельное приложение вынесены примеры, которые можно использовать в качестве домашних заданий.
Разумеется, данное пособие совершенно не претендует на полноту содержащихся в н¼м сведений. Однако автор надеется, что оно окажется полезным студентам и преподавателям второго курса, так как здесь достаточно подробно дан тот теоретический материал, который излагается на лекциях при изучении тем Числовые ряды , Функциональные последовательности и ряды , Ряды Фурье в евклидовых пространствах и Тригонометрические ряды Фурье .
Всех же, кто заинтересуется изложением вопросов, касающихся как числовых рядов, так и функциональных последовательностей и рядов (в том числе рядов Тейлора и Фурье), но не вошедших в настоящее пособие (например, бесконечные произведения, квазиравномерная сходимость , общие тригонометрические ряды и др.), можно отослать к вузовским учебникам и обширной специальной литературе. Привед¼м лишь некоторые из учебников и монографий.
12 |
Введение |
1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
2.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.
3.Кудрявцев Л.Д. Математический анализ.
4.Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс.
5.Бари Н.К. Тригонометрические ряды.
6.Зигмунд А. Тригонометрические ряды.
ЧАСТЬ I
Числовые ряды
14 |
Часть I. Числовые ряды |
1.Общие сведения, относящиеся к числовым рядам
1.1. Понятие числового ряда. Примеры
Пусть задана некоторая числовая последовательность
fa1; a2; a3; : : : ; an; : : : g fangn1=1: |
(1.1) |
Тогда бесконечная сумма
1
X
an = a1 + a2 + + an + |
(1.2) |
n=1
называется числовым рядом. При этом n-й член последова-
тельности (1.1), то есть число an, называется n-м (общим) членом ряда, а сумма
n |
|
|
Xk |
+ a2 + + an |
|
Sn = ak = a1 |
(1.3) |
|
=1 |
|
|
называется n-й частичной суммой ðÿäà (1.2).
Отметим, что если в ряде (1.2) и, соответственно, в ча- стичной сумме (1.3) суммирование начинается не с единицы, а с некоторого целого номера n0, большего или меньшего
единицы, тем не менее n-й общий член является функцией натурального аргумента n, а n-я частичная сумма заканчи-
вается членом ряда an.
Бесконечной формальной сумме (1.2) можно придать неформальный смысл разными способами.
Если существует предел lim Sn = S (конечное число), то
n!1
ряд (1.2) называется сходящимся, а число S его суммой.
1. Общие сведения |
15 |
То, что числовой ряд сходится к числу S, записывается так:
1
X
an = S:
n=1
Åñëè lim Sn = 1 (+1, 1), то ряд (1.2) называется ðàñ-
n!1
ходящимся, но можно соответственно записать
1
X
an = 1 (+1; 1):
n=1
Если же частичная сумма Sn не имеет никакого предела (ни конечного, ни бесконечного), то ряд (1.2) также называется расходящимся, но ему не приписывают никакой суммы.
Заметим, что добавление, отбрасывание, изменение некоторого конечного числа членов ряда не влияют на его сходимость (расходимость), но, разумеется (в случае сходимости), влияют на величину суммы ряда. Действительно, в этом случае частичные суммы исходного и измен¼нного рядов, начиная с некоторого номера, отличаются друг от друга на одну и ту же величину. Поэтому в дальнейшем (если не оговорено противное) будем рассматривать суммирование в (1.2) и (1.3), начиная с единицы. Этим замечанием мы неоднократно будем пользоваться ниже.
П р и м е р. Рассмотрим ряд
1 |
|
X |
|
qn = 1 + q + q2 + + qn + ; |
(1.4) |
n=0
то есть ряд, общий член которого
an = qn; n = 0; 1; 2; : : : ;
16 |
Часть I. Числовые ряды |
при различных значениях q. Как хорошо известно, частич- ные суммы
Sn = 1 + q + q2 + + qn = |
8 |
1 qn+1 |
; |
q |
6 |
=;1 |
1 q |
|
|
(1.5) |
|||
|
< |
n + 1; |
|
q = 1: |
||
|
: |
|
|
|
|
|
Поэтому рассмотрение ряда (1.4) естественно разделяется на несколько случаев.
1. Пусть jqj < 1. Тогда lim qn+1 = 0, и, согласно (1.5),
n!1
существует lim Sn = 1 1 q , то есть в этом случае ряд (1.4)
n!1
1
сходится, прич¼м Xqn = 1 1 q .
n=0
2. Пусть q > 1. Тогда lim qn+1 = +1, и, согласно (1.5),
n!1
предел lim Sn = +1, то есть в этом случае ряд (1.4) рас-
n!1
1
ходится, прич¼м P qn = +1.
n=0
3. Пусть q < 1. Тогда lim qn+1 = 1, ïðè÷¼ì ýòîò
n!1
символ (1) нельзя заменить ни на +1, ни на 1, так êàê qn+1, неограниченно возрастая по абсолютной величине, становится попеременно то положительной, то отрицатель-
ной величиной. Таким образом, в этом случае ряд (1.4) рас-
1
ходится, P qn = 1, и значение суммы (символ 1) нельзя
n=0
заменить ни символом +1, ни символом 1.
4. Åñëè q = 1, òî òàê æå, êàê è ïðè q > 1, ðÿä (1.4)
1 1
расходится, прич¼м P qn = P 1 = +1.
n=0 n=0
1. Общие сведения |
17 |
5. Если q = 1, то ряд (1.4) принимает следующий вид: |
|
1 |
|
X |
|
( 1)n = 1 1 + 1 1 + 1 1 + : |
(1.6) |
n=0
Поэтому его частичные суммы
S0 = 1; S1 = 0; S2 = 1; S3 = 0; S4 = 1; S5 = 0; : : :
не имеют предела, так как последовательность fSng1n=0 ñî- держит в себе подпоследовательности с номерами разной
ч¼тности, сходящиеся к |
|
числам |
m!1 |
2m |
|
||
|
|
|
различным |
|
lim S |
|
= 1, |
m!1 |
2m+1 |
. Это означает, что ряд (1.6) (то есть ряд (1.4) |
|||||
lim S |
|
=0 |
|
|
|
|
|
при q = 1) расходится, но ему нельзя приписать никакой суммы.
Итак, мы получаем, что ряд |
|
|
|||||
1 |
ïðè jqj < 1 |
сходится, |
|
||||
qn |
|
(1.7) |
|||||
X |
ïðè |
j |
q |
j |
> 1 |
расходится. |
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
1.2.Линейные свойства сходящихся рядов. Сочетательный закон
Так как сходимость (расходимость) числового ряда определена как сходимость (расходимость) последовательности его частичных сумм, то переформулировка теоремы о линейных свойствах сходящихся числовых последовательностей приводит к справедливости нижеследующей теоремы о линейных свойствах сходящихся числовых рядов.
18 |
|
Часть I. Числовые ряды |
||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
nP |
|
|
Т е о р е м а 1.1. Для любых двух сходящихся рядов |
an |
||
|
nP |
|
|
=1 |
è |
|
|
|
|
bn, суммы которых равны A и B соответственно: |
||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
X |
X |
|
|
|
an = A; |
bn = B; |
|
|
|
n=1 |
n=1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
nP |
|
|
|
à) ðÿäû |
=1(an bn) сходятся, прич¼м |
|
|
|
|
1 |
|
|
X
(an bn) = A B;
n=1
1
P
б) для всякого числа c ряд can сходящийся, прич¼м
1n=1
|
|
X |
|
|
1 |
|
|
|
can = cA: |
|
|||
|
|
n=1 |
|
|
P |
|
рядка слагаемых) расставлять |
|
|
|
|||
В сходящемся числовом ряде |
an можно (не меняя по- |
|||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
скобки. При этом сумма ряда |
|||
не изменится: |
|
|
|
|
|
|
a1 + a2 + + an + = (a1 + a2 + + ak1 )+ |
|
|||||
|
+(ak1+1 + ak1+2 + + ak2 ) + + |
(1.8) |
||||
|
+(akp 1+1 + akp 1+2 + + akp ) + : |
|
||||
Это утверждение сформулируем и докажем в виде сле- |
||||||
дующей теоремы. |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
||
Ò å î ð å ì à 1.2. |
Пусть ряд |
|
an сходится к сумме S, |
|||
|
P |
|
|
|
=1 |
|
òî åñòü |
fkpgp1=0 целых неотрицательных чисел |
|||||
an = S. Тогда для любой строго возрастающей |
||||||
n=1
последовательности
0 = k0 < k1 < k2 < k3 < < kp <
1. Общие сведения |
|
19 |
|
|
1 |
|
|
числовой ряд |
pP |
|
|
bp, общий член которого равен сумме |
|||
|
=1 |
|
|
bp = akp 1+1 + akp 1+2 + + akp ; |
p = 1; 2; : : : |
||
|
|
1 |
|
является сходящимся, прич¼м |
pP |
|
|
bp = S. |
|
||
|
|
=1 |
|
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Обозначим n-ю частичную сумму
1
an через Sn(a), à m-þ частичную сумму ряда P bm
m=1
p частичная сумма
Sp(b) = b1 + b2 + + bp = (a1 + a2 + + ak1 )+ +(ak1+1 + ak1+2 + + ak2 ) + +
+(akp 1+1 + akp 1+2 + + akp ) = a1 + a2 + + ak1 + +ak1+1 + ak1+2 + + ak2 + +
(a)
+akp 1+1 + akp 1+2 + + akp = Skp ;
то есть последовательность fSp(b)g является подпоследовательностью сходящейся (по условию) к числу S последова-
тельности fSn(a)g. Поэтому lim Sp(b) = S. Теорема доказана.
p!1
Очевидно, что в сходящемся ряде (см. (1.8)) расставить скобки можно так, что в последнюю скобку войдут все члены этого ряда, начиная с некоторого номера:
a1 + a2 + + an + = (a1 + a2 + + ak1 )+ |
|
+(ak1+1 + ak1+2 + + ak2 ) + + |
(1.9) |
+(akp 1+1 + akp 1+2 + + akp )+(akp+1 + akp+2 + ):
Действительно, внутри последних скобок записан сходящийся ряд (см. замечание на с. 15), сумма которого отличается
1 |
kp |
от суммы исходного ряда P an на величину |
P an. |
n=1 |
n=1 |
20 |
Часть I. Числовые ряды |
 расходящемся ряде расстановка скобок вида (1.8) и (1.9) недопустима, так как может привести к неверным выводам. В самом деле, рассмотрим расходящийся ряд (1.6). Взяв в скобки каждую пару слагаемых, можно заключить, что сумма S ряда равна
S= (1 1) + (1 1) + = 0 + 0 + = 0:
Ñдругой стороны,
S= 1 (1 1) (1 1) = 1 0 0 = 1:
Àесли расставить скобки так, что внутри скобок окажутся âñå слагаемые ряда (1.6), кроме начального (нулевого):
S = 1 1 + 1 1 + = 1 (1 1 + 1 ) = 1 S;
то получим, что S = 12 . Неверный вывод о том, что ряд может иметь три различные суммы или 0 = 1 = 12 , был сделан
из-за неявного предположения, что расходящийся ряд (1.6) сходится, так как оперировали с числом S суммой ðÿäà.
1.3.Связь рядов и последовательностей. Критерий Коши. Необходимый признак
Всякий числовой ряд (1.2) порождает числовую последовательность своих частичных сумм fSng1n=1 (ñì. (1.3)). Íî
связь между рядами и последовательностями на самом деле двусторонняя: по всякой числовой последовательности можно построить ряд, частичными суммами которого будут элементы данной последовательности. Действительно,