Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

Если ввести в этом линейном пространстве норму по фор-

то можно установить, что при p > 1 все свойства нормы выполняются и тем самым все lp при этих p являются линейными нормированными пространствами; а при 0 < p < 1 не выполняется неравенство треугольника и, стало быть, lp при таких p уже не являются линейными нормированными

пространствами. Кстати сказать, установление неравенства треугольника для нормы, задаваемой формулой (7.14) при p > 1 наиболее трудо¼мкая операция, и поэтому здесь мы

не будем этого делать.

Также можно попытаться в линейных пространствах C[a; b], C [a; b] и Q0[a; b] ввести норму по формуле

и получить соответственно пока ещ¼ только линейные пространства CLp[a; b], C Lp[a; b] è Q0Lp[a; b]. И здесь лишь при

p > 1 формула (7.15) удовлетворяет всем свойствам нормы, и, следовательно, пространства CLp[a;b], C Lp[a;b] è Q0Lp[a;b] при этих p являются линейными нормированными пространствами; а при 0 < p < 1 не выполняется неравенство треугольника, которое, опять же, при p > 1 труднее всего уста-

новить. В следующем разделе, который посвящ¼н евклидовым пространствам, будет рассмотрен случай p = 2 (см. про-

странства (8.14) с нормой (8.17)), а все оставшиеся p 2 (1; 2) и p 2 (2; +1) мы рассматривать не будем.

7.3.Последовательности и ряды в линейных нормированных пространствах

Здесь мы начн¼м рассматривать последовательности

n=1

состоящие из элементов xn, un, принадлежащих некоторому линейному нормированному пространству X.

Последовательности (7.16) и ряды (7.17) будем называть

последовательностями и рядами в X.

Разумеется, так же, как в случае числовых или функциональных последовательностей и рядов, номер начального элемента последовательности в X или начальное значение

индекса суммирования ряда в X может быть как больше,

так и меньше единицы.

Также мы рассмотрим некоторые другие понятия и вопросы, связанные с последовательностями и рядами в X.

1

Последовательность xn n=1 â X называется сходящей- ся, если существует элемент x 2 X, что для всякого " > 0

найд¼тся номер N, что для любого номера n > N имеет

Второе обозначение в (7.18) применяется в тех случаях, ко-

гда надо подчеркнуть, что сходимость последовательности

1

xn n=1 рассматривается именно по норме линейного нор-

мированного пространства X (в одном и том же линейном

пространстве можно вводить, как мы видели, разные нормы).

11

Сходимость ряда в X определена, как и для числово-

го ряда, через последовательность его частичных сумм. Ясно, что и в линейном нормированном пространстве X связь

между рядами и последовательностями на самом деле двусторонняя: по всякой последовательности в X можно по-

строить ряд, частичными суммами которого будут элементы данной последовательности. Для этого можно воспользоваться формулами (1.10) на с. 21. Поэтому в дальнейшем, если нами будут установлены некоторые свойства для последовательностей (рядов) в X, то это свойство можно будет

перенести и на ряды (последовательности).

Нам понадобится понятие ограниченного множества в линейном нормированном пространстве X.

Множество A X называется ограниченным, если найд¼тся такое число M > 0, что для всякого x 2 A норма kxk 6 M.

Дальнейшие свойства последовательностей (а значит, и рядов) в X мы установим в виде теорем. Как мы увидим,

некоторые из этих теорем как по формулировке, так и способу доказательства будут очень похожи на теоремы о свойствах числовых последовательностей.

Т е о р е м а 7.1. Сходящаяся последовательность в X имеет единственный предел.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Предположим, что условие теоре-

1

ìû не выполняется. Пусть у последовательности xn n=1 в X имеется более одного предела. Рассмотрим два из них:

x 2 X, y 2 X, ïðè÷¼ì x 6=y. Òàê êàê lim xn = x, òî äëÿ

n!1

всякого " > 0 найд¼тся номер N1, что для любого номе- ðà n > N1 имеет место неравенство kxn xk < ". Íî òàê

êàê lim xn = y, то для всякого " > 0 найд¼тся номер N2,

n!1

что для любого номера n > N2 имеет место неравенство kxn yk < ". Поскольку x 6=y, то kx yk > 0. Поэтому для

для всех n > N. Возьм¼м какое-нибудь n > N. Используя свойства нормы и неравенства (7.20), имеем

kx yk=kx xn +xn yk6kx xnk+kxn yk=

=kxn xk+kxn yk< kx yk + kx yk =kx yk:

2 2

Получили противоречие (kx yk < kx yk). Теорема доказана.

Т е о р е м а 7.2. Сходящаяся последовательность в Xограничена.

номера n > N имеет место неравенство kxn xk < ". Найд¼м номер N для " = 1 и рассмотрим число

M = max fkx1k; kx2k; : : : ; kxN k; kxk + 1g :

Если n = 1; 2; : : : ; N, то неравенство (7.21) выполняется, так как kxnk находится среди чисел, максимум из которых определяет число M. Если же n > N, то в силу получения числа N для " = 1 и неравенства треугольника следует, что

kxnk = kx + (xn x)k 6 kxk + kxn xk < kxk + 1;

а число kxk + 1 также находится среди чисел, максимум из которых определяет число M. Итак, неравенство (7.21) верно для всех n. Теорема доказана.

Тогда справедливы следующие утверждения.

1

2.Последовательность nxn n=1 â X является сходя- щейся, прич¼м

3. Числовая последовательность kxnk 1n=1 является схо- дящейся, прич¼м

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Докажем первое утверждение. Из первых двух равенств в (7.22) в силу определения предела вытекает, что для всякого " > 0 найдутся такие номера N1

è N2, ÷òî

Но тогда отсюда следует, что для всякого " > 0 найд¼тся такой номер N = maxfN1; N2g, что для всех n > N нормы k(xn yn) (x y)k = k(xn x) (yn y)k 6 kxn xk +

" "

+kyn yk < 2 + 2 = ", то есть равенства (7.23) справедливы, что и доказывает первое утверждение.

Докажем второе утверждение. Так как последователь-

1

ность xn n=1 â X является сходящейся, то по теореме 7.2 она ограничена, то есть найд¼тся M > 0, что

kxnk 6 M äëÿ âñåõ n = 1; 2; : : : :

n > N. Это означает, что равенство (7.25) справедливо, что и доказывает третье утверждение. Теорема доказана.

Третье утверждение этой теоремы называется непрерывностью нормы в линейных нормированных пространствах.

Система x 2A, состоящая из элементов x 2 X, íà- зывается замкнутой системой в линейном нормированном

k=1

Таким образом, мы видим, что система называется замкнутой в X, если любой x 2 X с любой точностью " > 0

можно приблизить линейной комбинацией элементов этой системы.

Замкнутая система в линейном нормированном пространстве, подобно линейно независимой системе в линейном пространстве, может содержать любое количество элементов (A множество любой мощности).

Как мы видим, в отличие от замкнутой системы, базис линейного нормированного пространства состоит лишь из сч¼тного числа элементов.

1

Т е о р е м а 7.4. Базис en n=1 линейного нормированного пространства X является линейно независимой системой

этого пространства.

индексов, а отсутствующие базисные элементы записать с нулевыми коэффициентами. Этот ряд также сходится к e k , так как его частичные суммы, начиная с некоторого номера, а именно: с номера, равного

maxf 1; : : : ; k 1; k+1; : : : ; N g;

совпадают с e k . Но разложения (7.31) и (7.32) разные, òàê как в (7.31) коэффициент при e k равен нулю, а в (7.32) единице. Получили противоречие (неединственность разложения). Теорема доказана.

7.4.Полные линейные нормированные (банаховы) пространства

Прежде чем говорить о полноте линейного нормированного пространства, введ¼м хорошо известное для числовых последовательностей понятие фундаментальной последова-

Т е о р е м а 7.5. Сходящаяся последовательность в Xфундаментальна.

номера n > N имеет место неравенство kxn xk < 2 . Íî тогда для любых номеров n > N, m > N норма разности