Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

для всех x 2 X; а результатом умножения функции f(x) на число назов¼м функцию f(x). И здесь легко прове-

рить, что все свойства линейного пространства выполняются. В частности, нулевым элементом (нулевой функцией) в этом пространстве является функция (x) 0.

В дальнейшем, говоря о числовых рядах или функциях, определ¼нных на множестве X, будем понимать линей-

ные пространства или z(X) соответственно. В частно-

сти, будем рассматривать множество сходящихся (абсолютно сходящихся) числовых рядов или множество непрерывных (или кусочно-непрерывных) на каком-либо множестве (чаще всего на отрезке [a; b]) функций. Рассмотрим некото-

рые из этих функциональных линейных пространств, являющихся частными случаями, точнее, подпространствами

линейного пространства z(X).

3. Линейное пространство C[a; b], состоящее из функций f(x), непрерывных на отрезке [a; b], то есть непрерывных в каждой точке интервала (a; b), непрерывных справа при x = a и непрерывных слева при x = b. Это действительно подпространство линейного пространства z(X), так как

сумма двух непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывными функциями, то есть результаты этих операций также принадлежат пространству C[a; b].

4. Линейное пространство C [a; b], состоящее из функций f(x), непрерывных на отрезке [a; b], и таких, что f(b) = = f(a). Оно также подпространство линейного пространства z(X), ибо, помимо уже упоминавшегося в предыдущем примере сохранения непрерывности, равенство f(b) = f(a)

также сохраняется и при линейных операциях. Нетрудно видеть, что пространство C [a; b] является ещ¼ и подпростран-

ством линейного пространства C[a; b].

случаем одной внутренней точки разрыва xk функции f(x).

Это пространство, как и рассмотренные ранее пространства C[a; b] и C [a; b], также является подпространством линей-

ного пространства z(X). Действительно, умножение функции f(x) 2 Q0[a; b] на = 0 приводит к непрерывной функции (x) 0, а умножение на 6= 0приводит к функцииf(x), имеющей те же точки разрыва, что и функция f(x)

и осредн¼нной в точках разрыва. Сложение двух функций f(x) и g(x), принадлежащих Q0[a; b], тоже приводит к функции h(x) = f(x) + g(x) 2 Q0[a; b]. В самом деле, множество внутренних точек разрыва функции h(x) является подмно-

жеством объединения точек разрыва функций f(x) и g(x). Осреднение в точках разрыва сохраняется, так как

'(~x) = '(~x + 0) + '(~x 0) ; 2

если точка x~ точка непрерывности функции '(x). Коли- чество точек разрыва у функции h(x) может быть меньше, чем в объединении точек разрыва функций f(x) и g(x), например, если g(x) = f(x), то h(x) = (x). Отметим в

заключение, что пространство Q0[a; b] содержит в себе в ка-

честве подпространства рассмотренное в предыдущем примере пространство C [a; b].

При изучении линейных пространств в курсе линейной алгебры важную роль играют понятия размерности, базиса, линейной зависимости и независимости. Здесь, как видно из примеров, мы будем заниматься изучением бесконечномерных пространств, то есть таких линейных пространств, в которых для любого натурального n можно найти n линейно

независимых элементов. Понятие базиса бесконечномерного пространства будет введено ниже (см. с. 168), после введения понятий нормы и сходимости, а вот понятие линейной

независимости можно дать уже сейчас, прич¼м в более общем виде, чем обычно рассматривается в курсе линейной алгебры. Там оно рассматривается лишь для систем, состоящих из конечного числа элементов. Мы же будем рассматривать системы, состоящие из бесконечного числа элементов, прич¼м не обязательно даже из сч¼тного числа элементов; количество элементов системы может быть множеством любой мощности, например, их может быть столько, сколько точек на интервале, отрезке (континуум ), более мощное, чем континуум, и так далее.

Система x 2A, состоящая из элементов x 2 L (A множество любой мощности), называется

симой системой в линейном пространстве L, если для любого натурального n для любой подсистемы n элементов

Введ¼нное сейчас обобщение понятия линейной независимой системы, состоящей из любого числа элементов, как

система называется линейно независимой, если е¼ любая конечная подсистема линейно независима в том смысле, в каком ранее вводилось понятие линейно независимой системы, состоящей из конечного числа элементов.

7.2.Определение и примеры линейных нормированных пространств

Линейное пространство X называется линейным нормированным пространством , если для всякого элемента x2X определено число kxk, называемое

ющее следующим свойствам.

1.Для всякого x 2 X норма kxk > 0, прич¼м kxk = 0 тогда и только тогда, когда x = .

Напомним, что нулевой элемент пространства X.

2.Для любого x 2 X и любого числа справедливо ра-

венство

k xk = j j kxk:

3. Для любых x 2 X, y 2 X справедливо неравенство

kx + yk 6 kxk + kyk:

Последнее неравенство называется "неравенством треугольника". Если считать элементы пространства X векторами, а под kxk по-

нимать длину этого вектора, то неравенство треугольника означает, что длина любой стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других сторон.

Рассмотрим некоторые п р и м е р ы линейных нормированных пространств.

1. Множество l1 всех абсолютно сходящихся числовых

1

сходится. Установим вначале, что это линейное пространство, другими словами, линейное подпространство линейного пространства . Для этого достаточно установить, что

произведение абсолютно сходящегося ряда на число и сумма двух абсолютно сходящихся рядов являются абсолютно сходящимися рядами. Действительно, из абсолютной сходимости ряда (7.1) вытекает абсолютная сходимость ряда (7.2), так как постоянный множитель j j можно выносить за знак

суммы сходящегося ряда (см. теорему 1.1). Далее, из абсолютной сходимости рядов (7.1), (7.3) и того, что jcnj =

C[a; b]. Действительно, jf(x)j неотрицательная непрерывная функция, следовательно, на отрезке [a; b] она ограниче-

на сверху и достигает своей точной верхней грани (неотри-

цательной). Если же kfkC = max jf(x)j = 0, то для каждого

x2[a;b]

x 2 [a; b] значение jf(x)j = 0, поэтому f(x) = (x). Далее, для любой функции f(x) 2 C[a; b] и любого числа имеем

И наконец, для любых двух функций f(x) и g(x) из C[a; b] справедливо неравенство

Итак, C[a; b] линейное нормированное пространство.

3. Линейное нормированное пространство

Убедиться в выполнении всех свойств нормы можно точно так же, как и в предыдущем примере. Однако если заме-

тить, что поскольку, как уже отмечалось ранее, линейное пространство C [a; b] является подпространством линейно-

го пространства C[a; b] и норма зада¼тся той же формулой, то тем самым C [a; b] является подпространством линейного нормированного пространства C[a; b], то есть C [a; b] линейное нормированное пространство.

4. Линейное нормированное пространство

Q0[a; b] ff(x) 2 Q0[a; b]g; kfkQ = sup jf(x)j: (7.11)

x2[a;b]

Убедимся, что и здесь выполняются все свойства нормы. Действительно, jf(x)j неотрицательная кусочно-непрерыв-

ная функция с точками разрыва только первого рода, следовательно, на отрезке [a; b] она ограничена сверху, то есть

е¼ точная верхняя грань неотрицательна. Если же kfkQ = = sup jf(x)j = 0, то для каждого x 2 [a; b] значение jf(x)j =

x2[a;b]

= 0, поэтому f(x) = (x). Два других свойства нормы

проверяются так же, как и во втором примере (пространство C[a; b]) с естественной заменой символа max на символ

sup. Следовательно, Q0[a; b] линейное нормированное пространство.

5. Линейное нормированное пространство

Проверим выполнение всех свойствам нормы. Действительно, jf(x)j неотрицательная непрерывная функция, сле-

довательно, на отрезке [a; b] она интегрируема и величина

вестному свойству интегралов от неотрицательных непрерывных функций из равенства нулю интеграла от такой функции вытекает равенство нулю значения этой функции в каждой точке отрезка интегрирования, то есть f(x) = (x).

Далее, для любой функции f(x) 2 CL1[a; b] и любого числаимеем

RR

k fk1 = j f(x)j dx = j j jf(x)j dx = j j kfk1:

a a

160 Часть III. Ряды Фурье

После изменения в точках xk 1 è xk функцию jf(x)j можно сделать функцией, для которой, как известно, из равенства нулю интеграла по отрезку [xk 1; xk] вытекает равенство нулю в каждой точке этого отрезка. Следовательно, для неизмен¼нной функции имеем

Так как функция f(x) осреднена в точках fxkgnk=0, òî èç (7.7) и (7.12) вытекает, что

Поэтому из (7.12) и (7.13) находим, что из равенства kfk1 = = 0 следует равенство f(x) = (x) 0. Тем самым первое

свойство нормы установлено. Второе и третье свойства нормы проверяются так же, как и в пятом примере (пространство CL1[a; b]). Èòàê, Q0L1[a; b] линейное нормированное пространство.

Сравнение примеров 2 и 5, а также 3 и 6, 4 и 7 пока-

зывает, что из линейного пространства (C[a; b], C [a; b], Q0[a; b]), вводя разные нормы, можно полу-

÷èòü разные линейные нормированные пространства. Наряду с линейным нормированным пространством l1

абсолютно сходящихся числовых рядов (пример 1), изуча- ются и другие пространства рядов. Так, для всякого p > 0

можно рассмотреть множество lp рядов вида (7.1) и таких,

1

÷òî ðÿä P janjp сходится. Это линейное пространство 1.

n=1

1Точнее, lp линейное подпространство введ¼нного на с. 149 150 линейного пространства . Этот факт вовсе не самоочевиден. Наиболее сложным при его установлении является доказательство замкну-