Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

Для любого A > 0 остаточный член в форме Лагранжа (6.38) допускает оценку

142 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

прич¼м для любого A 2 (0; +1) степенные ряды в (6.42)

сходятся равномерно к соответствующим функциям на отрезке [ A; A].

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î этой теоремы аналогично доказательству предыдущей теоремы и поэтому не приводится.

Т е о р е м а 6.13. Во всех точках сходимости ряда (6.7) (то есть при x 2 ( 1; 1]) справедливо равенство

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Отсюда, в частности, видно, что ряд (6.7) (или, другими словами, ряд в (6.43)) является рядом Тейлора (6.31) функции f(x) = ln(1 + x).

Пусть x 2 ( 1; 1). Тогда из (6.39) и (6.44) следует, что остаточный член в форме Коши

и, следовательно, стремится к нулю при n ! 1. Таким образом,

то есть равенство (6.43) справедливо при x 2 ( 1; 1). Но ряд в (6.45) сходится и при x = 1. Согласно второй теореме Абеля (теореме 6.8), устремляя в (6.45) переменную x к 1 0, получаем, что равенство (6.43) справедливо и при x = 1. Теорема доказана.

Поскольку равенство (6.43) при x = 1 принимает вид

то тем самым с помощью разложения в ряд Тейлора (6.31) функции f(x) = ln(1 + x) можно найти сумму знакочереду-

ющегося числового ряда Лейбница. (Величина этой суммы получена ранее: см. (3.8).)

Т е о р е м а 6.14. Во всех точках сходимости ряда (6.8) справедливо равенство

1

(1 + x) = 1 + X ( 1) : : : ( n + 1) xn: (6.46)

1 2 : : : n

n=1

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Последовательно вычисляя производные для f(x) = (1 + x) , имеем

f(n+1)(x) = ( 1) : : : ( n)(1 + x) n 1;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

Отсюда, в частности, видно, что ряд (6.8) (или, другими

словами, ряд в (6.46)) является рядом Тейлора (6.31) функции f(x) = (1 + x) .

Пусть 2 N0. Тогда, как отмечалось на с. 125 и 128,

ряд (6.8) становится конечной суммой. Нетрудно видеть, что эта сумма является представлением функции f(x) = (1+x)

по формуле бинома Ньютона.

Пусть 62N0 и x 2 ( 1; 1). Тогда из (6.39) и (6.47) следует, что остаточный член в форме Коши

rn(x; f) = f(n+1)( x)(1 )nxn+1 = n!

= ( 1) : : : ( n)(1 + x) n 1 n!

можно записать в виде

Рассмотрим поочер¼дно все три сомножителя (отдел¼нные друг от друга знаком " ") в представлении (6.48) оста-

точного члена rn(x; f).

Первый сомножитель в представлении остаточного члена, то есть

( 1) ( 1 1) : : : ( 1 n + 1) xn; n!

является общим членом ряда (6.8), построенного для значе- ния параметра 1. Так как этот ряд сходится для любо-

ãî x 2 ( 1; 1), òî

Эта оценка не зависит от n (хотя число зависит îò n).

доказательстве предыдущей теоремы, при всех x 2 ( 1; 1) допускает оценку

1

(1+x) =1 +X ( 1) : : : ( n+1) xn; jxj < 1: (6.52)

1 2 : : : n

n=1

Это означает, что равенство (6.46) справедливо для всех значений x 2 ( 1; 1). Если ряд (6.8) сходится при x = 1

или x = 1 (условия сходимости ряда (6.8) при x = 1 при-

ведены на с. 129), то, переходя в равенстве (6.52) к пределу при x ! 1 + 0 или x ! 1 0 (нетрудно видеть, что функ-

öèÿ (1 + x) допускает такой предельный переход) и приме-

няя вторую теорему Абеля, получаем, что равенство (6.46) справедливо и при предельном значении x, входящем в мно-

жество сходимости ряда (6.8). Теорема доказана.

146 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

6.5. Вопросы для повторения

и самостоятельной работы

p

1. Установить, что lim n n! = +1.

n!1

2.Рассмотреть в теоремах 6.6, 6.7 и 6.8 левую половину интервала сходимости.

3.Доказать теорему 6.10.

4.Доказать теорему 6.12.

5.Установить сходимость и найти сумму числового ряда

1 + 12 13 14 + 15 + 16 17 18 + : : : :

ЧАСТЬ III

Линейные нормированные и евклидовы пространства.

Ряды Фурье

7.Линейные нормированные пространства

7.1.Определение и примеры линейных пространств

Напомним, что множество L элементов любой приро-

ды, в котором определены операции сложения и умножения на числа1, называется линейным пространством , если эти операции удовлетворяют следующим свойствам.

1.Для любых x 2 L, y 2 L справедливо равенство x + y = y + x:

2.Для любых x 2 L, y 2 L, z 2 L справедливо равенство

(x + y) + z = x + (y + z):

3.Существует элемент 2 L такой, что для всякого элемента x 2 L справедливо равенство

x + = x:

Этот элемент называется нулевым èëè нейтральным.

1Точнее, определены сумма любых двух элементов x; y 2 L (результат x + y 2 L) и произведение любого элемента из некоторого поля P и любого элемента x 2 L (результат x = x 2 L). Мы всегда будем в качестве поля P рассматривать поле действительных ëèáî

комплексных чисел и называть линейное пространство с умножением на вещественные числа вещественным линейным пространством , а пространство с умножением на комплексные числа комплексным линейным пространством ,

4.Для любого x 2 L существует элемент x0 2 L такой,

÷òî

x + x0 = :

Этот элемент называется противоположным и обозначается x. После его введения становится возмож-

ным определить операцию вычитания x y как операцию сложения элемента x с элементом y, противоположным элементу y.

5. Для любых x 2 L, y 2 L и любого числа справедливо

равенство

(x + y) = x + y:

6. Для любого x 2 L и любых чисел и справедливо

равенство

( + )x = x + x:

7. Для любого x 2 L и любых чисел и справедливо

равенство

( )x = ( x):

8. Для любого x 2 L справедливо равенство

1 x = x:

Рассмотрим некоторые п р и м е р ы линейных пространств. Из таких линейных пространств впоследствии будем строить примеры линейных нормированных и евклидовых пространств.

1. Рассмотрим множество всех числовых рядов

n=1

Результатом умножения ряда (7.1) на число назов¼м ряд

11

n=1

в котором

cn = an + bn; n = 1; 2; : : : :

Нетрудно видеть, что все свойства линейного пространства выполняются. В частности, нулевым элементом (нулевым рядом) в этом пространстве является ряд

1

X

n=1

Отметим кстати, что вопрос о сходимости рядов, принадлежащих пространству , при этом вообще не ставится.

2. Рассмотрим множество z(X) всех функций одной переменной f(x), определ¼нных на некотором числовом множестве X. Результатом сложения двух функций f(x) и g(x) из z(X) назов¼м функцию h(x) такую, что h(x) = f(x)+g(x)