Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Если равенство (6.21), или, в разв¼рнутом виде,

имеет место для всех x из -окрестности нуля вида (6.20) (1),

(6.20) (3) или (6.20) (5) (то есть из окрестности, содержащей точку 0), то, подставив в это равенство значение x = 0,

получим

Если же (6.23) имеет место для всех значений x из окрестно-

сти вида (6.20) (2), (6.20) (4) или (6.20) (6) (то есть из окрестности, не содержащей точку 0), то, устремляя x к нулю в

этом равенстве с соответствующей стороны ( x ! 0 в окрестности вида (6.20) (2), x ! 0+0 в окрестности вида (6.20) (4), x ! 0 0 в окрестности вида (6.20) (6)) в этом равенстве,

также получим (6.24). Взаимно уничтожая a0 è b0 в обеих частях (6.23) и сокращая их на x (естественно, при x 6=),0 получаем

Устремляя x к нулю в этом равенстве с соответствующей стороны ( x ! 0 в окрестности вида (6.20) (1) или (2), x ! 0 + 0 в окрестности вида (6.20) (3) или (4), x ! 0 0 в окрестности вида (6.20) (5) или (6)), убеждаемся, что

a1 = b1:

Взаимно уничтожая a1 è b1 в обеих частях (6.25), сокращая их на x и устремляя x к нулю в получаемом равенстве с соответствующей стороны, видим, что

a2 = b2:

1

По условию числовой ðÿä P anRn сходится (возможно, не

n=0

абсолютно, а лишь условно), следовательно, рассматриваемый как ряд функциональный (состоящий из функций-кон- стант), он сходится равномерно на любом множестве (в том числе на множестве [0; R]). На этом же множестве

для всех n = 0; 1; 2; : : : и при любом x 2 [0; R] числовая по-

Поэтому согласно признаку Абеля равномерной сходимости функциональных рядов (теорема 5.7), ряд (6.26), то есть степенной ряд (6.2), сходится равномерно на [0; R]. Теоре-

ма доказана.

Т е о р е м а 6.8 (вторая теорема Абеля). Пусть у степенного ряда (6.2) радиус сходимости R 2 (0; +1) и этот

ряд сходится при x = R (при x = R). Тогда существу-

=P an( R)n .

n=0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так же, как при доказательстве теорем 6.6 и 6.7, ограничимся рассмотрением правой половины области сходимости степенного ряда (6.2). Согласно предыдущей теореме, ряд (6.2) сходится равномерно на [0;R].

Но тогда по теореме 5.9 в этом ряде можно переходить к пределу при x ! R 0, а anxn = anRn. Теорема доказана.

1[ r;r]

Тогда по теореме 6.3 ряд P anxn S(x) и, следовательно,

n=0

согласно теореме 5.17, его можно почленно интегрировать, то есть равенство (6.28) справедливо для всех x 2 ( R; R).

Если же R 2 (0; +1) и ряд (6.27) сходится также при x = R (при x = R), то возможность почленного интегрирования

вытекает из теоремы 6.7 (равномерная сходимость) и теоремы 5.17. Теорема доказана.

Т е о р е м а 6.10 (о почленном дифференцировании степенного ряда). Пусть у степенного ряда (6.2) радиус сходи-

мости R > 0 и

1

X

anxn = S(x):

n=0

Тогда для всякого x 2 ( R; R) существует производная

n=1

X

= a1 + 2a2x + 3a3x2 + = (m + 1)am+1xm:

m=0

Если, кроме того, радиус R < +1 и ряд (6.29) сходится также при x = R (при x = R), то равенство (6.29) справедливо и для x = R (для x = R).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î этой теоремы аналогично доказательству предыдущей теоремы (надо лишь вместо теоремы 5.17 о почленном интегрировании функциональных рядов использовать теорему 5.19 о почленном дифференцировании таких рядов) и поэтому не приводится.

136 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

6.3.Ряд Тейлора (Маклорена). Аналитические и неаналитические функции

Пусть функция f(x) раскладывается в степенной ряд вида (6.2), радиус сходимости которого R > 0 (то есть функция f(x) является суммой этого ряда по крайней мере на интервале ( R; R)). Согласно теореме 6.10, у функции f(x) при x 2 ( R; R) существует производная f0(x), которую

можно получить с помощью почленного дифференцирования степенного ряда. Так как радиус сходимости продифференцированного ряда тот же самый, то операцию дифференцирования можно проделать сколько угодно раз:

f(x) = a0 + a1x + a2x2+ +anxn + ;

f0(x) = 1 a1x + 2 a2x+ +nanxn 1 + ;

f00(x) = 2 1 a2+ +n(n 1)anxn 2 + ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Подставляя сюда x = 0, имеем, что

и, следовательно, разложение в ряд функции f(x) имеет вид

X

1 f(n)(0)

f(x) = xn: (6.31) n!

n=0

Ряд, стоящий в правой части этой формулы, называется рядом Тейлора функции f(x). Точнее, ряд в (6.31) назы-

вается рядом Маклорена, а рядом Тейлора называется ряд

вида (6.1) с центром в точке x0, представляющий функ- öèþ f(x):

ßñíî, ÷òî ïðè x0 = 0 формула (6.32) переходит в формулу (6.31), поэтому в дальнейшем будем иметь дело с разложением (6.31).

Согласно теореме единственности коэффициентов степенных рядов (теорема 6.5), если какая-то функция f(x)

является суммой степенного ряда (6.2) с радиусом сходимости R > 0, то этот ряд обязательно есть е¼ ряд Тейло-

ра (6.31). Функция, для которой равенство (6.31) справедливо на вс¼м множестве сходимости е¼ ряда Тейлора, называется аналитической. Очевидно, что всякая аналитическая функция имеет производные любого порядка. Но не всякая бесконечно дифференцируемая функция является аналити- ческой. К таким функциям относится, например, функция

Установим это. Вычисляя при x 6= 0первую и вторую производные, имеем

140 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

ции f(x) (естественно, бесконечно дифференцируемой) е¼

рядом Тейлора (6.31) становится необходимым изучать поведение остаточного члена rn(x; f) формулы Тейлора

ßñíî, ÷òî åñëè rn(x; f) ! 0 для некоторого x, то ряд Тейлора для этого x сходится к значению f(x), если же остаточный член rn(x; f) r(x) 0 на каком-то множестве X,

следующие формы остаточного члена формулы (6.37):

форма Лагранжа

n=0

прич¼м для любого A 2 (0; +1) степенной ряд в (6.40) сходится равномерно к ex на отрезке [ A; A].

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Так как для функции f(x) = ex è для любого k = 0; 1; 2; : : : производная f(k)(x) = ex и, следо- вательно, f(k)(0) = 1, то ряд (6.40) является рядом Тейлора (6.31) этой функции.