Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

рядов ряд (6.3) сходится, то есть ряд (6.2) сходится абсолютно. Теорема доказана.

Выясним, как устроено множество сходимости X степенного ряда (6.2). Оно всегда непусто ( X 6=;), поскольку у любого ряда 0 2 X. Как показывают рассмотренные выше примеры, бывают ряды, у которых X = f0g. Такие ряды

называются всюду расходящимися степенными рядами. Если ряд (6.2) не является всюду расходящимся степенным рядом, то имеются точки x~ 6=,0в которых он сходится. Рас-

смотрим множество fjx~jg.

Если это множество не ограничено сверху, то по первой теореме Абеля ряд (6.2) сходится, прич¼м абсолютно, для всех x 2 ( 1; +1). Такие степенные ряды называются

всюду сходящимися.

Пусть теперь множество fjx~jg ограничено сверху. Обозначим R = supfjx~jg (0 < R < +1). Из определения точной верхней грани и теоремы 6.1 следует, что для всех x таких, что jxj > R, ряд (6.2) расходится, а если x 2 ( R; R),

то ряд (6.2) абсолютно сходится. В пограничных точках (при x = R) первая теорема Абеля ответа не да¼т. Как мы

увидим ниже, в этих точках общего вывода о сходимости (расходимости) сделать нельзя: есть примеры рядов, сходящихся при x = R, есть примеры рядов, расходящихся

при x = R, а есть примеры рядов, которые сходятся на одном конце интервала ( R; R) и расходятся на другом; ес-

122 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

ли есть сходимость на каком-то из концов, то она может в одних примерах быть абсолютной, а в других условной.

Отсюда можно сделать очень важный в ы в о д:

всякий степенной ряд (6.2) характеризуется величиной R, называемой радиусом сходимости (R либо неотрицательное число, либо символ +1). Если R = 0, то ряд (6.2) сходится (прич¼м абсолютно) только при x = 0. Если R 6= ,0 то для всех x 2 ( R; R) (этот интервал называется интер-

валом сходимости) степенной ряд абсолютно сходится, а если R 2 (0; +1), то при jxj > R степенной ряд расходится,

в граничных точках интервала сходимости может быть либо расходимость, либо абсолютная сходимость, либо условная сходимость.

Отметим попутно, что для степенных рядов (6.1) интервалом сходимости будет множество (x0 R; x0 + R), а всюду

расходящийся степенной ряд (6.1) сходится лишь при x=x0.

Т е о р е м а 6.2 (теорема Коши Адамара). Радиус сходимости R степенного ряда (6.2) можно найти по формуле

(если неотрицательный верхний предел, стоящиé â знаме-

Пусть = 0. Так как верхний предел последовательно-

сти е¼ крайняя правая предельная точка, а отрицательных частичных пределов у последовательности f ng áûòü

не может ( n > 0), то эта предельная точка единственная. Это означает, что последовательность f ng сходится к пре-

= 0 < 1, следовательно, согласно радикальному призна-

ку Коши в предельной форме (следствие из теоремы 2.5), ряд (6.2) абсолютно сходится для всех x 2 ( 1; +1). По-

этому здесь радиус сходимости R = +1.

Пусть = +1. Возьм¼м произвольное значение x 6=.0

Так как верхний предел последовательности е¼ (крайний

правый) частичный предел, то существует строго монотонная последовательность fnkg1k=1

1 6 n1 < n2 < < nk < nk+1 <

такая, что lim nk = +1. Это значит, что найд¼тся та-

k!1

кой номер k0, ÷òî äëÿ âñåõ k > k0 имеет место неравенствоnk > jx1j . Отсюда согласно (6.5) имеем, что nk = nqk jank j >

> jx1j , òî åñòü jank xnk j > 1. Последнее неравенство означа-

åò, ÷òî lim anxn 6= ,0другими словами, для всякого x 6= 0

n!1

степенной ряд (6.2) расходится, следовательно, его радиус сходимости R = 0.

Пусть 0 < < +1. Применим радикальный признак Коши к ряду, составленному из абсолютных веëè÷èí слагаå-

мых ряда (6.2). Используя (6.5), находим, что lim pn janxnj =

n!1

= lim njxj = jxj. Согласно радикальному признаку Коши

n!1

в предельной форме, если jxj < 1, то есть при jxj < 1 , ряд (6.2) сходится абсолютно, а если jxj > 1, то есть при

Это значит, что при jxj < 1 исследуемый ряд сходится абсолютно, а при jxj > 1 расходится. При x = 1 ряд (6.7) переходит в условно сходящийся ряд Лейбница, а при x = 1 в ряд, лишь множителем ( 1) отличающийся от гармониче- ского ряда, и поэтому расходящийся.

3.Рассмотрим ряд

1 + x + ( 1) x2 + ( 1)( 2) x3+ 1 2 1 2 3

n=1

называемый биномиальным рядом. Этот ряд является степенным рядом с параметром . Здесь

Пусть 2 N0 f0; 1; 2; : : : g. Тогда все члены ряда (6.8), начиная с некоторого номера (с номера n = + 1), ста-

новятся равными нулю. У такого ряда, вырождающегося в конечную сумму, радиус сходимости R = +1.

126 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

Пусть 62N0. Тогда ни один из коэффициентов ряда (6.8) не будет нул¼м. Для нахождения множества сходимости этого ряда, так же как в первом примере, воспользуемся (при x 6=)0признаком Даламбера. Поскольку un+1(x)=

Это значит, что при jxj < 1 исследуемый ряд сходится абсолютно, а при jxj > 1 расходится, то есть для всякого 62N0 у биномиального ряда (6.8) радиус сходимости R = 1. Ис-

следуем поведение ряда на концах интервала сходимости (при x = 1).

Пусть 6 1. Из (6.10) находим

и поэтому, согласно признаку Даламбера в допредельной форме (теорема 2.4) при 6 1 ряд (6.8) расходится на

обоих концах интервала сходимости.

При остальных нерассмотренных , то есть при нецелых > 1, признак Даламбера ни в предельной, ни в до-

предельной формах не работает. Воспользуемся признаком Раабе в предельной форме (следствие из теоремы 2.7). Так

как n ! 1, то будем рассматривать n > . Согласно (6.10) имеем

Пусть 2 R+ n N, то есть любое положительное ненатуральное число. Тогда + 1 > 1, и поэтому из (6.11) вытекает, что при этих ряд (6.8) абсолютно сходится на

обоих концах интервала сходимости.

Пусть 2 ( 1; 0). В этом случае + 1 < 1, и поэтому из (6.11) вытекает, что при этих у ряда (6.8) нет абсолют-

ной сходимости ни на одном из концов интервала сходимости. Если обозначить

cn = ( )(1 ) : : : (n 1 ) > 0; (n = 1; 2; 3; : : : ); (6.12)

1 2 : : : n

то отсюда согласно (6.8) и (6.9) имеем

11

XX

11

XX

Из (6.12) следует, что ряд (6.13) знакоположительный , а так как у него нет абсолютной сходимости, то он расходится; ряд же (6.14) знакочередующийся . Поскольку

128 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

то положительная числовая последовательность fcng является строго убывающей, поэтому для доказательства сходимости (естественно, условной) по признаку Лейбница ряда (6.14) достаточно установить, что

то есть последовательность f ln cng последовательность

так как лишь множителем (1 + ) отличается от расходяще-

чем, как уже отмечалось, доказана условная сходимость ряда (6.14).

Итак, для биномиального ряда (6.8) получаем:

åñëè 2 N0, то R = +1 (при этих ряд имеет конеч- ное число ненулевых членов);

åñëè 2 R n N0, òî R = 1, ïðè÷¼ì:

ïðè 2 R+ nN ряд сходится для всех x 2 [ 1; 1] и сходимость ряда абсолютная на обоих концах;

при 2 ( 1; 0) ряд сходится для всех x 2 ( 1; 1],

âточке x = 1 ряд расходится, в точке x = 1 ряд сходится условно;

при 2( 1; 1] ряд сходится для всех x2( 1;1),

âобеих граничных точках x = 1 ряд расходится.

6.2.Свойства степенных рядов

Òе о р е м а 6.3 (равномерная сходимость степенного ряда). Пусть у степенного ряда (6.2) радиус сходимости R > 0.

Тогда для всякого r 2 (0; R) этот ряд сходится равномерно на отрезке [ r; r].

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Пусть r 2 (0; R) ( R; R), а на интервале ( R; R) ряд (6.2) сходится абсолютно. Это озна- чает, что числовой ряд

11

Из (6.16) и (6.17) по признаку Вейерштрасса (теорема 5.5)

1

получаем, что P anxn на [ r; r]. Теорема доказана.

n=0

Т е о р е м а 6.4 (непрерывность суммы степенного ряда). Пусть у степенного ряда (6.2) радиус сходимости R > 0.

Тогда сумма S(x) этого ряда непрерывна на ( R; R).

130 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Пусть x0 произвольное число из интервала ( R; R). Возьм¼м какое-нибудь r 2 (jx0j; R). Òî-

1 [ r;r]

гда по теореме 6.3 ряд P anxn S(x) и, следователь-

n=0

но, согласно теореме 5.13, его сумма S(x) 2 C[ r; r], то есть S(x) непрерывна в любой точке [ r; r], в том числе и в точке x0. Итак, для всякого x0 2 ( R; R) функция S(x) непрерывна при x = x0. Теорема доказана.

Т е о р е м а 6.5 (единственность коэффициентов степенного ряда). Пусть степенной ряд

n=0

имеет радиус сходимости R2 > 0. Пусть найд¼тся > 0, что для всех x из -окрестности нуля одного из видов:

äëÿ âñåõ n = 0; 1; 2; : : :.