Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Отметим, что из (5.42) по теореме 5.12 вытекает, что f(x) 2 C[a; b], а непрерывные функ-

ции интегрируемы. Не ограничивая общности, будем счи- тать, что a < b, так как при a = b равенство (5.43) очевидно

(оно переходит в равенство 0 = 0), а при a > b предвари-

тельно переставим пределы интегрирования в обеих частях равенства (5.43).

Из (5.42) следует, что для любого " > 0 найд¼тся но-

мер N, что для всех номеров n > N и для всех x 2 X

венство (5.43) справедливо. Теорема доказана.

Таким образом, мы видим, что при выполнении условий теоремы 5.16 имеет место равенство

то есть можно менять местами интегрирование по x и переход к пределу по n.

Запишем аналог этой теоремы для функциональных рядов.

Т е о р е м а 5.17 (об интегрировании суммы равномерно

112 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

сходящегося функционального ряда). Пусть функциональный ряд

прич¼м для всех n 2 N функции un(x) 2 C[a; b]. Тогда

an=1 a

Èздесь мы видим, что при выполнении условий теоремы 5.17 имеет место равенство

XX

то есть можно менять местами интегрирование по x и (бесконечное) суммирование по n.

Теоремы 5.16 и 5.17 справедливы и при более слабых предположениях относительно свойств функций fn(x) èëè un(x): непрерывность можно заменить интегрируемостью. Однако мы не будем доказывать эти теоремы при таких условиях.

Отметим, что требование равномерной сходимости в теоремах 5.16 и 5.17, будучи существенным, не является в то же время необходимым: если его отбросить, то утверждения этих теорем могут как остаться верными, так и стать несправедливыми. Рассмотрим с этой точки зрения два последних примера (четв¼ртый и пятый), которые приведены на с. 86. В обоих примерах X = [0; 1], f(x) 0, а равномер-

ная сходимость, как уже было выяснено, отсутствует.

0

b

Z

= 0 = f(x) dx, то есть равенство (5.43) выполняется.

равенство (5.43) уже íå выполняется.

Т е о р е м а 5.18 (о дифференцировании предельной функ-

ции функциональной последовательности). Пусть функцио- нальная последовательность ffn(x)g1n=1 сходится к предель-

ной функции f(x) в каждой точке отрезка [a; b]:

lim fn(x) = f(x); x 2 [a; b]; (5.46)

n!1

прич¼м для всех n 2 N функции fn(x) непрерывно дифференцируемы, то есть fn0 (x) 2 C[a; b], и последовательность

[a;b]

fn0 (x) '(x): (5.47)

114 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

Тогда в каждой точке отрезка [a; b] функция f(x) дифференцируема, прич¼м

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Из теоремы 5.12 вытекает, что функция '(x) 2 C[a; b]. Возьм¼м любое число x 2 [a; b]. В

силу замечания на с. 89, из (5.47) следует, что

[a;x]

fn0 (t) '(t):

Теперь мы видим, что для функциональной последователь-

Так как функция '(x) 2 C[a; b], то по теореме о диффе-

ренцируемости интеграла с переменным верхним пределом из (5.49) вытекает (5.48). Теорема доказана.

Итак, при выполнении условий теоремы 5.18 имеет место равенство

то есть можно менять местами дифференцирование по x и переход к пределу по n.

Перефразируем эту теорему для функциональных рядов.

Т е о р е м а 5.19 (о дифференцировании суммы функцио-

1

нального ряда). Пусть функциональный ряд P un(x) ñõî-

n=1

дится к сумме S(x) в каждой точке отрезка [a; b]:

1

X

un(x) = S(x); x 2 [a; b];

n=1

прич¼м для всех n 2 N функции un(x) непрерывно дифференцируемы, то есть u0n(x) 2 C[a; b], è ðÿä

u0n(x) '(x):

n=1

Тогда в каждой точке отрезка [a; b] функция S(x) дифференцируема, прич¼м

S0(x) = '(x); x 2 [a; b]:

И здесь, подобно (5.50), при выполнении условий теоремы 5.19 справедливо равенство

то есть можно менять местами дифференцирование по x и (бесконечное) суммирование по n.

Теоремы 5.18 и 5.19 справедливы и при менее ж¼стких предположениях относительно свойств функций fn(x) èëè un(x). Однако мы не будем уточнять условия этих теорем.

В заключение рассмотрим следующий п р и м е р. Введ¼м функцию

n=1

116 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

Эта функция называется дзета-функцией Римана. Поскольку ряд в (5.52), как хорошо известно, сходится при x > 1 и

расходится при x 6 1, то отсюда следует, что функция (x) определена при x 2 (1; +1).

Установим, что ряд в (5.52) не является равномерно сходящимся на множестве X = (1; +1). Действительно, если

бы он равномерно сходился на X, то по теореме 5.9, переходя к пределу при x ! 1+0, мы получили бы, что расходящийся

гармонический ряд n оказался сходящимся.

n=1

Исследуем функцию (x) на непрерывность в своей об-

ласти определения, используя при этом наличие равномерной сходимости ряда в (5.52) (разумеется, не на вс¼м множестве X, а на какой-то его части). Возьм¼м произвольное

число x0 2 (1; +1) и укажем два числа x1 è x2

x1 2 (1; x0), x2 2 (x0; +1) (например, можно взять x1 =

n=1

признаку Вейерштрасса (теорема 5.5) функциональный ðÿä

1

X 1

nx , определяющий функцию (x), сходится равномерно

n=1

на множестве [x1; x2]. Поэтому, согласно теореме 5.13, функция (x) 2 C[x1; x2], то есть непрерывна в каждой точке отрезка [x1; x2], в том числе и в точке x0. Точка x0 любая òî÷- ка множества X, следовательно, функция (x) непрерывна в каждой точке бесконечного интервала (1; +1).

Исследуем теперь функцию (x) на дифференцируемость

в своей области определения, точнее, убедимся, что справедлива формула

Ряд в (5.53) получен формальным дифференцированием ряда в (5.52). Проверим выполнение условий теоремы 5.19. В проверке нуждается лишь выполнение условия о равномерной сходимости формально продифференцированного ряда, то есть ряда в (5.53), ибо остальные условия (сходимость исходного ряда и непрерывность производных), оче- видно, выполняются. Применим тот же при¼м, что и при исследовании функции (x) на непрерывность, то есть для

произвольного числа x0 2 (1; +1) укажем числа x1 2 (1; x0) è x2 2 (x0; +1). ßñíî, ÷òî äëÿ âñåõ x 2 [x1; x2] справедливо неравенство

сходится. Установим это. Так как x1 > 1, а предел отно-

шения lim = 0 (в этом можно убедиться по прави-

t!+1 t

лу Лопиталя), то для достаточно больших t числитель этой

118 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

ряд (5.54) сходится. Итак, по признаку Вейерштрасса (теорема 5.5) ряд в (5.53) сходится равномерно на [x1; x2]. Поэтому, согласно теореме 5.19, равенство (5.53) выполняется в каждой точке отрезка [x1; x2], в том числе и в точке x0. А точка x0 произвольная точка множества X, следовательно, равенство (5.53) выполняется в каждой точке бесконечного интервала (1; +1).

Аналогичные рассмотрения (с многократным применением теоремы 5.19 на отрезке [x1; x2] (1; +1)) äàþò âîç-

можность установить, что функция (x) бесконечно дифференцируема в своей области определения, прич¼м

5.6. Вопросы для повторения и самостоятельной работы

n=1

множестве

но не являющегося абсолютно сходящимся ни в одной точке множества X.

n=1

множестве

являющегося абсолютно сходящимся в любой точке множества X, но который нельзя ограничить сверху

(мажорировать) сходящимся знакоположительным рядом.

3. Доказать теорему 5.7.

4.Привести пример функциональной последовательности fn(x) 1n=1, которая на отрезке [a; b] равномерно сходится к разрывной функции.

5.Привести пример функциональной последовательности разрывных функций fn(x) 1n=1, которая на отрез- ке [a; b] равномерно сходится к непрерывной функции.

6.Доказать формулу (5.55).

6.Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды

6.1.Степенные ряды. Множество сходимости

Функциональный ряд вида

называется степенным рядом.

Если в ряде (6.1) обозначить x x0 = t, то он перейд¼т в ряд

1

P antn = a0 + a1t + a2t2 + + antn + :

n=0

Поэтому в дальнейшем, если не оговорено противное, будем называть степенным рядом функциональный ряд вида

120 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

Любой степенной ряд (6.2) сходится (и при том абсолютно) при x = 0. Имеются степенные ряды, сходящиеся только

при x = 0. Рассмотрим два п р и м е р а.

1

1. P nnxn. Применяя при x 6= 0к абсолютной вели-

n=1

чине общего члена un(x) = nnxn радикальный признак Ко- ши в пределüíîé ôîðìå (ñëåäствие из теоремы 2.5), нахо-

этом случае, как известно (см. замечание на с. 37), общий член un(x) не стремится к нулю, и исходный ряд расходится.

1

2. P n! xn. В этом случае применим при x 6= 0к аб-

n=1

солютной величине общего члена un(x) = n! xn признак Да- ламбера в предельной форме (следствие из теоремы 2.4). То-

гда предел отношения lim jun+1(x)j = lim j(n + 1)! xn+1j =

n!1 jun(x)j n!1 jn! xnj

= lim (n + 1)jxj = +1, то есть и здесь общий член un(x) íå

n!1

стремится к нулю, и исходный ряд расходится.

Т е о р е м а 6.1 (первая теорема Абеля). Если ряд (6.2) сходится при x = x~ 6=,0то он абсолютно сходится для всех x

таких, что jxj < jx~j.

1

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. По условию, ряд P anx~n сходит-

n=0

ся, следовательно, по необходимому признаку (см. теоре-

му 1.4) предел lim anx~n = 0. Так как сходящаяся после-

n!1

довательность ограничена, то найд¼тся M > 0, что для всех номеров n абсолютная величина janx~nj 6 M. Поскольку для

общего члена ряда

1

X

n=0