Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

нельзя делать выводы об отсутствии равномерной сходимости. Аналогично можно сделать замечание относительно

односторонности применения теоремы 5.4. Если будет уста-

X

новлено, что un(x) 6 u(x) 0, то отсюда вытекает, что

жестве X. Если же мы установим, что un(x) u(x) 0, òî

вопрос1о наличии или отсутствии равномерной сходимости ðÿäà P un(x) оста¼тся открытым.

n=1

5.5.Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Âэтом пункте будут рассмотрены некоторые достаточ- ные условия сохранения при предельном переходе тех или иных функциональных свойств (таких, как непрерывность, дифференцируемость и т. д.) у последовательностей и рядов функций, и мы увидим, что введ¼нное в п. 5.2 понятие равномерной сходимости будет играть при этом решающую роль.

Т е о р е м а 5.8 (о предельном переходе в равномерно сходящихся функциональных последовательностях). Пусть функциональная последовательность

прич¼м для всех номеров n 2 N существует (конечный) предел

где a предельная точка множества X. Тогда существует

102 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

(5.26)

n!1

а также предел предельной функции f(x) при x ! a, при- ч¼м

Прежде чем приступать к доказательству, отметим два момента. Во-первых, a (предельная точка множества X) мо-

жет быть одним из тр¼х бесконечных символов ( 1, +1 или 1), а также символом, указывающим на одностороннее стремление x к a (a + 0 или a 0). Во-вторых, стремление x к a в (5.25) и (5.27) осуществляется по множеству X, то есть точки в окрестности a берутся исключительно из то- чек множества X.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Пусть a конечное число, и x стремится к a двусторонним образом. Согласно (5.24), по теореме 5.2, для любого " > 0 можно найти номер N, что для всех номеров n > N, m > N и всех x 2 X имеет место неравенство

(5.28)

Переходя в этом неравенстве к пределу при x ! a, получа- ем, согласно (5.25), что для тех же номеров n и m справед-

то есть, в частности, числовая последовательность fAng фундаментальна, и, стало быть, по критерию Коши сходимости числовых последовательностей, существует конечный предел (5.26). Обозначим

Переходя в неравенстве (5.28) (для любого фиксированного x 2 X) к пределу при m ! 1, получаем, что для всех

номеров n > N и для всех x 2 X имеет место неравенство

Если же перейти к пределу при m ! 1 в неравенстве (5.29), то согласно (5.30) получим, что для всех номеров n > N справедливо неравенство

Возьм¼м какой-нибудь номер n > N. Согласно (5.25), для любого " > 0 найд¼тся > 0, что для всех x 2 X и таких,

Поэтому для всех x 2 X, удовлетворяющих (5.33), из (5.31), (5.32) и (5.34) вытекает, что jf(x) Aj 6 jf(x) fn(x)j +

" " "

+ jfn(x) Anj + jAn Aj < 3 + 3 + 3 = ". А это означа- ет, что lim f(x) = A. Таким образом, в случае предельного

x!a

перехода x ! a теорема доказана.

Если предельный переход x ! a заменяется на один из пяти других возможных предельных переходов ( x ! a + 0, x ! a 0, x ! 1, x ! +1 или x ! 1), то при до-

казательстве теоремы заменяется лишь неравенство (5.33) на соответствующее неравенство из привед¼нной здесь таблицы (в не¼ для общности и полноты картины включено

104 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

и неравенство (5.33) для случая двустороннего стремления переменной x 2 X к конечному числу a):

Проводя доказательство слово в слово и заменяя неравенство (5.33) одним из привед¼нных выше, получаем, что для всех возможных предельных переходов утверждение теоремы также справедливо. Теорема полностью доказана.

Итак, мы видим, что при выполнении условий теоремы 5.8 имеет место равенство

то есть можно менять местами переход к пределу по x и переход к пределу по n.

Применим теперь теорему 5.8 к функциональной после-

довательности fSn(x)g частичных сумм функционального

1

ðÿäà P un(x) и тем самым убедимся, что справедлива сле-

n=1

дующая теорема.

Т е о р е м а 5.9 (о почленном переходе к пределу в равномерно сходящихся функциональных рядах). Пусть функ-

циональный ряд

1

X X

un(x) S(x);

n=1

прич¼м для всех номеров n 2 N существует (конечный) предел

lim un(x) = an;

x!a

где a предельная точка множества X. Тогда числовой ряд

1

X

an

n=1

сходится, прич¼м предел суммы ряда

Так как теорема 5.9 только перефразировка предшествующей теоремы 5.8, то в специальном доказательстве

îíà не нуждается.

Последнему соотношению теоремы 5.9 можно придать вид, подобный (5.35): при выполнении условий этой теоремы имеет место равенство

11

XX

то есть можно менять местами переход к пределу по x и (бесконечное ) суммирование по n.

Сделаем небольшое отступление, о котором было упомянуто на с. 73 при рассмотрении методов суммирования

числовых рядов. Пусть имеется функциональная последовательность f'n(x)g1n=1, которая определена на множестве X

и такова, что для всех номеров n 2 N существуют преде-

ëû lim 'n(x) = 1, где a предельная точка множества X.

x!a

106 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

обобщ¼нного значения предела (обобщ¼нного значения суммы). Линейность этого метода очевидна, а условиями его регулярности и полной регулярности мы заниматься не будем.

Применяя теоремы 5.8 и 5.9 к функциональной последовательности или к функциональному ряду, которые состоят из непрерывных функций (в некоторой точке или на отрезке), можно убедиться в справедливости следующих двух теорем.

Т е о р е м а 5.10 ( о непрерывности в точке предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности). Пусть функциональная последовательность

[a;b]

fn(x) f(x);

прич¼м для всех номеров n 2 N функции fn(x) непрерывны

ïðè x = x0 2 [a; b]. Тогда предельная функция f(x) непрерывна при x = x0.

Т е о р е м а 5.11 (о непрерывности в точке суммы равномерно сходящегося функционального ряда). Пусть функ-

прич¼м для всех номеров n 2 N функции un(x) непрерывны при x = x0 2 [a; b]. Тогда сумма ряда S(x) непрерывна при x = x0.

Из этих теорем сразу вытекают ещ¼ две теоремы.

Т е о р е м а 5.12 (о непрерывности на отрезке предельной функции равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций). Пусть функциональная последователь-

прич¼м для всех номеров n 2 N функции fn(x) 2 C[a; b]. Тогда предельная функция f(x) 2 C[a; b].

Т е о р е м а 5.13 (о непрерывности на отрезке суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций). Пусть функциональный ряд

прич¼м для всех номеров n 2 N функции un(x) 2 C[a; b]. Тогда сумма ряда S(x) 2 C[a; b].

Отметим, что теоремы 5.12 и 5.13 иногда можно использовать для доказательства отсутствия равномерной сходимости функциональной последовательности или функционального ряда. Действительно, если для всех номеров n 2 N

тельность ffn(x)g1n=1 не убывает (в противном случае вме- сто функциональной последовательности ffn(x)g1n=1 будем рассматривать последовательность f fn(x)g1n=1). Обозначим

'n(x) = f(x) fn(x). ßñíî, ÷òî 'n(x) 2 C[a; b] и для любого x 2 [a; b] числовая последовательность f'n(x)g1n=1 íåîò- рицательна и, монотонно не возрастая, стремится к нулю, то есть

'1(x) > '2(x) > > 'n(x) > 'n+1(x) > > 0;

Для доказательства равномерной сходимости последовательности ffn(x)g1n=1 к предельной функции f(x) достаточ-

но для всякого " > 0 найти хотя бы один номер n, что для всех x 2 [a; b] имеет место неравенство

(Согласно (5.37), для всех больших n неравенство (5.38) так-

же выполняется.) Докажем это от противного. Пусть найд¼тся " > 0, что для любого номера n можно указать значе-

íèå xn 2 [a; b], ÷òî

'n(xn) > ": (5.39)

Числовая последовательность fxng1n=1 ограничена, следо-

вательно по теореме Больцано Вейерштрасса, существует сходящаяся подпоследовательность fxnk g1k=1 этой последо-

вательности:

lim xnk = x0 2 [a; b]: (5.40)

k!1

Но для всякого m найд¼тся номер k, что nk > m. Поэтому

из (5.37) и (5.39) следует, что 'm(xnk ) > 'nk (xnk ) > ". Это означает, что

'm(xnk ) > ": (5.41)

110 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

Функция 'm(x) непрерывна в каждой точке отрезка [a; b], следовательно из (5.40) и (5.41) вытекает, что 'm(x0) =

= lim 'm(xnk ) > ", òî åñòü

k!1

'm(x0) > "; m = 1; 2; 3; : : : :

А это противоречит тому, что lim 'm(x0) = 0 (ñì. (5.37)).

m!1

Теорема доказана.

Ясно, что аналог этой теоремы для функциональных рядов имеет нижеследующий вид.

Т е о р е м а 5.15 (теорема Дини для функциональных ря-

1

дов). Пусть функциональный ряд P un(x) таков, что:

n=1

а) для всех номеров n 2 N функции un(x) 2 C[a; b]; б) для всех x 2 [a; b] и для всех номеров n 2 N

значения un(x) > 0 (значения un(x) 6 0);

1

в) сумма ряда P un(x) = S(x) 2 C[a; b].

n=1

1[a;b]

Тогда P un(x) S(x).

n=1

Т е о р е м а 5.16 (об интегрировании предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности). Пусть функциональная последовательность