Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

4.И здесь, подобно первым двум примерам, возьм¼м " =

=12 > 0 и для любого номера N укажем номер n=N+1>N

X

åñòü fn(x) 6 f(x).

Итак, в четыр¼х из пяти примеров мы видим, что после-

X

довательность fn(x) 6 f(x). При этом согласно сделанно-

му выше (на с. 88) замечанию, отсутствие равномерной сходимости к поточечному пределу означает отсутствие рав-

номерной сходимости вообще, так как если бы оказалось,

X

÷òî fn(x) g(x)6 f(x), òî è lim fn(x)=g(x) äëÿ âñåõ x2X.

n!1

èфункциональных рядов

Òе о р е м а 5.1 (критерий равномерной сходимости функциональной последовательности). Для того чтобы

решается гораздо быстрее. Для этого будем вычислять ве- личину n (ñì. (5.11)).

n = 1, òàê êàê 0 6 fn(x) 6 1, 0 6 f(x) 6 1; íî íåðà-

n = 1, соображения те же, что и в предыдущем примере),

множителем n отличается от функции 'n(x) предыдущего

åñòü lim n 6=,0и поэтому fn(x)6 (fx).

n!1

5. В этом примере 'n(x) = jfn(x) f(x)j = n2xe n2x2 , ñ ïî- мощью дифференциального исчисления находим, что n =

X

и, следовательно, fn(x) 6 f(x).

94Часть II. Функциональные последовательности и ряды

Òе о р е м а 5.2 (критерий Коши равномерной сходимости

функциональной последовательности). Для равномерной сходимости функциональной последовательности ffn(x)g1n=1

на множестве X необходимо и достаточно, чтобы для любого " > 0 можно было найти номер N, что для всех номеров n > N, m > N и для всех x 2 X абсолютная величи- на jfn(x) fm(x)j < ".

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Необходимость. Пусть функциональная последовательность ffn(x)g1n=1 равномерно сходит-

ся на множестве X. Обозначим предельную функцию че- рез f(x). Согласно определению равномерной сходимости, для любого " > 0 можно найти номер N, что для всех n > N

"

и для всех x 2 X абсолютная величина jfn(x) f(x)j < 2 . Но тогда для всех n > N, m > N и для всех x 2 X абсолют-

ная величина jfn(x) fm(x)j = jfn(x) f(x)+f(x) fm(x)j 6

" "

6 jfn(x) f(x)j + jf(x) fm(x)j < 2 + 2 = ", òî åñòü íåîá-

Достаточность. Пусть теперь для любого " > 0 найд¼тся номер N, что для всех номеров n > N, m > N и для всех x 2 X имеет место неравенство

ãî x 2 X числовая последовательность ffn(x)g1n=1 фунда- ментальна, и по критерию Коши сходимости числовых последовательностей для любого x 2 X существует предел

Тогда для любого номера n > N и для любого x 2 X, пере-

ходя к пределу при m ! 1 в неравенстве (5.12), получим

"

jfn(x) f(x)j 6 2 < ";

X

òî åñòü fn(x) f(x). Теорема доказана.

Данная теорема легко перефразируется для функциональных рядов.

Т е о р е м а 5.3 (критерий Коши равномерной сходимо-

сти функциональных рядов). Для равномерной сходимости

1

функционального ряда P un(x) на множестве X необходи-

n=1

мо и достаточно, чтобы для любого " > 0 можно было найти номер N, что для всех номеров n и m таких, что m > n > N и для всех x 2 X имеет место неравенство

В специальном д о к а з а т е л ь с т в е эта теорема (как и соответствующая теорема для числовых рядов) не нуждается, так как она только что была доказана для любых

функциональных последовательностей в том числе и для

1

последовательности fSn(x)g частичных сумм ряда P un(x).

n=1

5.4.Признаки равномерной сходимости функциональных рядов

Òе о р е м а 5.4 (необходимый признак равномерной сходимости функциональных рядов). Если функциональный

ряд равномерно сходится на множестве X:

1

X

n=1

96 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

то его общий член un(x) на этом же множестве равномерно сходится к функции, всюду на этом множестве равной нулю:

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Обозначим частичную сумму ря-

да (5.13) через Sn(x), а всю сумму этого ряда через S(x).

X X

По условию Sn(x) S(x), но тогда и Sn 1(x) S(x), а это означает, что для любого " > 0 найд¼тся номер N, что для всех номеров n > N и для всех x 2 X справедливы неравенства

Следовательно, jun(x) u(x)j = jun(x)j = jSn(x) Sn 1(x)j = = j Sn (x) S (x) + S (x) Sn 1 (x) j 6 j Sn (x) S (x) j +

" "

+jS(x) Sn 1(x)j < 2 + 2 = ", то есть имеет место (5.14). Теорема доказана.

Отметим, что этот признак можно вывести в качестве следствия из теоремы 5.3 (критерия Коши равномерной сходимости функциональных рядов).

Т е о р е м а 5.5 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов). Если

P

un(x) сходится равномерно на множестве X.

n=1

для него справедлив критерий Коши сходимости числовых рядов, то есть для любого " > 0 найд¼тся номер N, что для

(знак абсолютной величины опущен, так как cn > 0). Но тогда из (5.15) и (5.16) вытекает, что для тех же n и m и для всех x 2 X абсолютная величина

Следовательно, для функционального ряда P un(x) выпол-

n=1

няется критерий Коши равномерной сходимости (см. теорему 5.3), то есть этот ряд сходится равномерно на множестве X. Теорема доказана.

Признак Вейерштрасса достаточно прост в применении.

Однако он да¼т не только равномерную сходимость функ-

1

ционального ряда P un(x) на множестве X, но и его àá-

n=1

солютную сходимость в каждой точке множества X. Если

же ряд сходится равномерно, но не абсолютно, то признак Вейерштрасса к таким рядам неприменим. Для получения таких признаков, которые традиционно связываются с именами Дирихле и Абеля, напомним формулы преобразования Абеля (3.12) и (3.14), заменив фигурирующие там постоянные функциями, зависящими от переменной x.

Итак, пусть имеются две последовательности функций:an(x) 1n=1 è bn(x) 1n=1, определ¼нных на некотором мно-

прич¼м для всякого фиксированного x 2 X, ввиду моно-

тонности последовательности fan(x)g1n=1, справедливо либо неравенство

Пусть n и m таковы, что m > n > N. Тогда для любого x 2 X из преобразования Абеля (5.18), неравенства (5.21) и

одного из неравенств монотонности (неравенства (5.22) или неравенства (5.23)) вытекает, что

100 Часть II. Функциональные последовательности и ряды

Это означает, что для ряда (5.20) выполняется критерий Ко-

ши равномерной сходимости, следовательно, по теореме 5.3

1

ðÿä P an(x)bn(x) равномерно сходится на множестве X.

n=1

Теорема доказана.

Как видим, доказательство признака Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов лишь с небольшими естественными изменениями повторяет доказательство признака Дирихле сходимости числовых рядов. Поэтому для

ограничимся лишь формулировкой.

Т е о р е м а 5.7 (признак Абеля равномерной сходимости

функциональных рядов). Если для любого фиксированного x 2 X числовая последовательность fan(x)g1n=1 монотон- на, прич¼м функциональная последовательность fan(x)g1n=1

равномерно на множестве X ограничена в совокупности, то есть найд¼тся K > 0, что для всех x 2 X и всех n абсолют-

1

X

an(x) bn(x) íà X:

n=1

Отметим, что в признаках Дирихле и Абеля неважен характер монотонности последовательности fan(x)g1n=1 (ýòîò

характер может быть различным â разных точках множества X).

Также следует иметь в виду, что признак Вейерштрасса (теорема 5.5), признак Дирихле (теорема 5.6), признак Абеля (теорема 5.7), в отличие от критериев (теоремы 5.1, 5.2 и 5.3), дают лишь достаточные условия равномерной сходимости, и если эти условия не выполняются, то ещ¼