Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013

5. Ответы к самостоятельной работе

1.1.

1.2. 1. 3.

1.4. .

2.

3.

51

Занятие 6. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2-ГО РОДА, ФОРМУЛА ГРИНА, ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Определение криволинейного интеграла 2-го рода. Пусть

Пусть на кривой заданы две функции: , и , . Разобьем α, β на частей точками α β. При

некоторую точку " ξ , η и составим две интегральные суммы:

% , " ∑ ξ , η ∆ , % , " =∑ ξ , η ∆ .

Определение 6.1. Число % ( 1,2 называется пределом интегральных сумм % , " ( 1,2 при ∆ + 0, если -ε / 0 0δ / 0 такое, что для любого разбиения кривой 2, у которого ∆ δ, и для любого выбора промежуточных точек " выполняется неравенство |% , " % | ε.

Если существуют lim∆ % , " % , то они называются

криволинейными интегралами 2-го рода и обозначаются

% 6 , 7 , % 6 , 7.

Сумма % и % называется общим криволинейным интегралом 2-

Аналогично вводится криволинейный интеграл 2-го рода вдоль

Из определения криволинейного интеграла 2-го рода следует, что при изменении направления обхода кривой изменяется и знак интеграла, т.е.

52

то для нее можно указать два направления обхода от к . Если область, лежащая внутри контура, остается слева по отношению к движущейся по контуру точке, то такое направление обхода кривой называется положительным, а противоположное ему – отрица-

тельным.

Криволинейные интегралы 2-го рода обладают свойствами линейности и аддитивности, однако теорема об оценке модуля интеграла и формула среднего значения неверны.

2. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода с помощью определенного интеграла

Теорема 6.1. Если – кусочно гладкая кривая, заданная уравнениями (5.1) ((5.4) для пространственной кривой), функции кусочно непрерывны вдоль кривой , то существует криволинейный интеграл (6.2) ((6.3)) и справедливо равен-

ство

, (6.4)

для пространственной кривой:

. (6.5)

Пример 6.1. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода по кривой , пробегаемой в направлении возрастания

параметра , – дуга синусоиды . □ Воспользуемся теоремой 6.1, параметризуем кривую:

. Получим:

■

53

Пример 6.2. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода

, (6.7)

где

Из формул (6.6), (6.7) следует физическое приложение криволи-

вычисляется по формуле (6.6), вдоль пространственной кривой – по формуле (6.7).

где контур ориентирован так, что при его обходе область остается слева (направление обхода положительно).

Площадь области , ограниченной простым кусочно гладким

55

.

56

Пример 6.6. Найти площадь области, ограниченной плоскими

Рис. 6.3

□ Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными кривыми (см. рис. 6.3) воспользуемся формулой (6.9): , где

– контур . Применим свойство аддитивности криволинейного интеграла относительно кривой:

.

Рассмотрим интеграл по каждому участку:

=

;

;

.

57

Итак, . ■

Пример 6.7. С помощью криволинейных интегралов вычислить

(против часовой стрелки – область слева) и свойством аддитивности криволинейного интеграла относительно кривой:

.

Вычислим интеграл по каждому участку:

;

.

58

5. Условия независимости криволинейного интеграла

2-го рода от пути интегрирования.

Теорема 6.4. Пусть функции непрерывны в области . Тогда следующие три условия эквивалентны.

I. Для любого замкнутого кусочно гладкого контура , расположенного в области , справедливо равенство

дое из условий I – III эквивалентно следующему условию: IV. В области выполняется равенство .

Пример 6.8. Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный

ся полным дифференциалом, и криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Возьмем в качестве пути интегрирования,

Рис. 6.5

Рассмотрим интеграл по каждому отрезку:

;

.

6. В аудитории

1. Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода, взятые вдоль указанных кривых в направлении возрастания параметра:

.

2. Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить:

.

3. Применяя формулу Грина, вычислить:

60