Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013

4.

Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностя-

ми:

4.1.

;

4.2.

;

4.3.

;

4.4.

.

5.

Найти площадь

части поверхности

, заключенной

внутри цилиндра

.

4.

Задачи для самостоятельной работы

1.

Найти площади, ограниченные следующими кривыми:

1.1.

;

1.2.

.

2.

Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, огра-

ниченную следующими кривыми:

2.1

;

2.2.

.

3.1.

;

3.2.

;

3.3.

;

3.4.

.

ми:

4.1.

;

4.2.

;

4.3.

стями

.

31

6. Найти площадь части поверхности

, распо-

ложенной вне цилиндров

.

5. Ответы к самостоятельной работе

1.1.

.

1.2.

2.1.

2.2.

3.1.

3.2.

.

3.3.

4.1.

.

4.2.

4.3.

.

5.1.

5.2.

понятиям

и теоремам для двойных интегралов. Пусть функция

определена на

измеримом по Жордану

множестве

в трехмерном евклидовом

пространстве. Разобьем

область

на

измеримых частей

так, чтобы любые

возьмем произвольную точку

и составим сумму

, где

- объем .

Пусть

– диаметр

,

.

Определение. Число

называется

пределом

интегральных

сумм

при

если

такое, что для лю-

бого разбиения области

, у которого

, и для любого выбора

промежуточных точек

выполняется неравенство

.

Если существует

, то он называется трой-

ным интегралом от функции

по множеству

и обознача-

ется

или

а функция

интегрирования. Пусть функция

определена в области

где

– непрерывные функции на измеримом компакте

(рис.

4.1).

Теорема 4.1. Пусть:

1) существует тройной интеграл

;

2)

существует определенный интеграл

.

,

(4.1)

т.е. тройной интеграл равен повторному.

Если область

является элементарной относительно

оси

(рис. 4.1), т.е.

,

то двой-

ной интеграл

в свою очередь, можно свести к по-

вторному:

.

(4.2)

ным интегралом.

определена и ограничена в области ,

Пусть функция

которая заключена между плоскостями

и

, причем каж-

дое сечение области

плоскостью

представляет собой

измеримое множество

(рис. 4.2).

Теорема 4.2. Пусть:

1) существует тройной интеграл

;

2)

существует

двойной

интеграл

.

34

состоит в переходе от переменных

к

новым переменным

по формулам

(4.4)

При этом каждая точка

области

соответствует неко-

торой точке

области

, а каждая точка

области

переходит в некоторую точку

области

. Иными

слова-

ми, функции (4.4) осуществляют отображение области

простран-

ства

на область

пространства

.

Пусть отображение (4.4) удовлетворяет следующим условиям.

1. Отображение (4.4) взаимно однозначно.

2. Функции

,

имеют в области не-

(4.4) удовлетворяет условиям 1 – 3. Если функция

интег-

рируема на , то справедливо равенство

(4.5)

новым, криволинейным координатам

. Приведем примеры

часто употребляемых криволинейных координат.

Цилиндрические координаты.

Пусть

– произвольная

точка в пространстве

,

– проекция точки

на плоскость

Рис. 4.3

Точка

однозначно задается тройкой

чисел

,

где

– полярные координаты точки

на

плоскости

–

аппликата точки

Тройка

чисел

называется цилиндриче-

скими координатами точки

Переход от прямоугольных коорди-

нат

к цилиндрическим

задается формулами

36

.

(4.6)

Иногда в качестве промежутка изменения

берется промежу-

ток

. Якобиан отображения (4.6)

.

(4.7)

Сферические координаты. Пусть

– произвольная точ-

ка в пространстве

,

– проекция точки на плоскость

(рис. 4.4, а).

а)

б)

Рис. 4.4

Точка

однозначно задается тройкой чисел

где

–

расстояние точки

от начала координат

, – полярный угол

точки

на плоскости

, – угол между лучами

и

.

Тройка

чисел

называется сферическими координатами

точки . Переход от прямоугольных координат

к сфери-

ческим координатам

задается формулами

.

,

(4.8)

Якобиан отображения (4.8) равен:

.

(4.9)

Иногда вместо

берется

угол

между лучами

и

. В этом случае

,

,

,

(4.10)

где

– некоторые числа, выбираемые в каждом

конкретном случае из соображений удобства.

.

(4.11)

Переходя в (4.11) к новым переменным

по формулам

.

(4.12)

Величину

, представляющую собой объем прямо-

угольного параллелепипеда с ребрами

естественно на-

зывать элементом объема в прямоугольных координатах

, а

величину

– элементом объема в криволи-

нейных координатах

. Модуль якобиана

можно

при

отображении

области пространства

на область

пространства

.

Пример 4.1. Вычислить тройной интеграл

,

где

– область, ограниченная поверхностями

.

□ Область

элементарна относительно оси

(рис. 4.5).

38

Рис. 4.5

Пусть

есть область на плоскости

, ограниченная прямы-

ми

. Очевидно,

что область элементарна

относительно оси

. Применяя теорему 4.1, получим:

к однократному, если

– непрерывная на отрезке

функция.

□ Трехкратный интеграл равен тройному интегралу

по области , ограниченной параболоидом

и плоско-

стью

(рис. 4.6).

Область

элементарна относительно оси :

,

где

.

=

. ■

Пример 4.3. Вычислить тройной интеграл

где

– область, ограниченная поверхностя-

ми

.

□

Область

можно

представить

в

виде

,

где

(рис. 4.7).