Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013

7.

Вычислить

двойные интегралы

и

,

вводя обобщенные полярные координаты, где область

ограниче-

.

на астроидой

8.

Вычислить:

8.1.

, где област

ограничена кривой

;

8.2.

, где область ограничена кривыми

.

3.

Задачи для самостоятельной работы

1.

В двойном интеграле

перейти к полярным

координатам, расставить пределы

интегрирования, где – тре-

угольник

.

2.

Перейти к полярным координатам, расставить пределы интег-

рирования в том и другом порядке:

2.1.

;

2.2.

;

2.3.

.

3.

Поменять порядок интегрирования

.

4.

Перейдя к полярным координатам, заменить двойной инте-

грал однократным

, где

.

5.

Перейдя к полярным координатам, вычислить:

5.1.

;

5.2.

;

5.3.

.

6.

Перейти

к новым

переменным

в

интеграле

, где область

ограничена кривыми

21

если

.

7. Найдите замену переменных

, при ко-

торой область

ограниченная кривыми

является

образом прямо-

плоскости

.

8. Вычислить:

8.1.

;

, где область ограничена эллипсом

8.2.

, где область ограничена кривыми

.

сти

выражается формулой

.

(3.1)

Если

– криволинейная

чим выражение площади области

в криволинейных координатах:

.

(3.2)

Величину

представляющую собой площадь прямо-

угольника со сторонами

и

, естественно назвать элементом

площади

в

прямоугольных

координатах

и

а величину

– элементом площади в криволинейных коор-

динатах

и

. Модуль якобиана

представляет собой коэф-

фициент растяжения площади в точке

при отображении об-

ласти плоскости

на область

плоскости

.

Если – криволинейный сектор на плоскости

, ограничен-

ный лучами

и кривой

, где

и

– полярные

координаты (рис. 3.1), то переходя в формуле

к полярным коорди-

натам, учитывая, что

,

,

Рис. 3.1

Б) Объем тела

(рис.

3.2), где – измеримый компакт,

– непрерывная неотрица-

тельная в области функция, выражается формулой

.

(3.3)

Рис. 3.2

В) Пусть функция

определена и имеет непрерывные

частные производные в некоторой области

содержащей

То-

гда площадь поверхности

(рис.

3.2) выражается инте-

гралом

,

(3.4)

где – проекция данной поверхности на плоскость

.

2. Физические приложения двойных интегралов.

Пусть

–

материальная

бесконечно тонкая пластинка (измеримый компакт

на плоскости

) с плотностью

Тогда справедливы сле-

дующие формулы:

25

А)

– масса пластинки;

(3.5)

Б)

– стати-

ческие моменты инерции относительно осей

и

;

В)

– координаты центра тяжести пластинки;

Г)

–

моменты

инерции относительно осей

и ;

Д)

–

момент

инерции

пластинки относительно начала координат.

Рис. 3.3

Разрешим

относительно

Применим формулу

Рис. 3.5

Пример 3.4. Найти объем тела

, ограниченного поверхностями

.

□

Данное

тело

можно

представить

в

виде

, где

– область на

плоскости

, ограниченная

кривыми

,

т.е.

. Применяя формулу (3.3) и

сводя двойной интеграл к повторному, получим

■

Пример 3.5. Найти объем тела

, ограниченного поверхностями

.

□

Данное

тело

можно

представить

в

виде

,

где

– область на

плоскости

, ограниченная

кривой

.

Кривая

представляет собой окружность радиусом 1,

с центром в точке

мулу (3.3):

.

Следовательно,

. Применим фор-

28

. ■

Пример 3.6.

Найти площадь поверхности части

полу-

сферы

заключенной внутри цилиндра

.

□ Применим формулу (3.4). Учтем, что

.

Следовательно,

, где

.

Перейдем к полярным координатам

, сведем двойной интеграл к повторному:

. ■

Пример 3.7.

Пластинка

задана неравенствами

Сделаем

эллиптическую замену:

. При

этом

, следовательно,

и

. Якобиан преобразования равен

.

. ■

3.

В аудитории

1.

Найти площади, ограниченные следующими кривыми:

1.1.

;

1.2.

.

2.

Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, огра-

3.3

.