Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013

3.2.

.

4.

Вычислить

.

4.

Задачи для самостоятельной работы

1.

В двойном интеграле

расставить пределы ин-

1.1. – трапеция с вершинами

;

1.2. – круг

;

1.3. область

ограничена линиями

1.4. Область

;

.

ограничена линиями

2.

Изменить порядок интегрирования:

2.1.

;

2.2.

;

2.3.

;

2.4.

;

2.5.

.

3.

Вычислить повторный интеграл, переменив порядок интегри-

рования:

3.1.

;

3.2.

.

4.

Вычислить

,

–

ограничена прямыми

.

5.

Ответы к самостоятельной работе

1.1.

1. Замена переменной

в двойном интеграле. Рассмотрим

двойной интеграл

. Замена переменных в двойном

интеграле состоит в переходе от переменных

к новым пере-

менным

и по формулам

(2.1)

При этом каждая точка

области соответствует некото-

рой точке

области ,

а каждая точка

области перехо-

дит в некоторую точку

области (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Иными словами, когда точка

«пробегает» область соот-

ветствующая ей точка

«пробегает» об-

плоскости

на область плоскости

. Область

назы-

вается образом области , а область – прообразом области

при

1.

Отображение (2.1) взаимно однозначно, т.е. различным точ-

кам

области

соответствуют различные точки

области

.

2.

Функции

и

имеют в области

непрерывные

частные производные первого порядка.

3.

Якобиан отображения

отличен от нуля во

всех точках области .

13

.

(2.2)

ласти

на область , можно придать другой смысл. Рассмотрим в

области

отрезок прямой

(рис. 2.2). В области

ему соответствует параметрически заданная кривая

,

(2.3)

где роль параметра играет переменная

. Точно так же отрезку

прямой

в области

соответствует в области

кривая

,

(2.4)

где роль параметра играет

Точке

области соответст-

вует некоторая точка

области

.

Рис. 2.2

В силу взаимной однозначности отображения (2.1) точке

со-

ответствует единственная точка

области

, т.е. точка

однозначно определяется парой чисел

. Поэтому числа

и

можно рассматривать как координаты точки

(но уже не пря-

одна из координат

или постоянна, естественно назвать коор-

динатными линиями

и . Так как координатные линии представ-

ляют собой кривые,

то числа

называются криволинейными

вать как формулы перехода от прямоугольных координат

к

новым, криволинейным координатам

в области .

ток

. Якобиан перехода к полярным координатам имеет

вид

(2.5)

Пример 2.1. Вычислить интеграл

, где – об-

ласть,

ограниченная прямыми

.

□ Уравнения линий, ограничивающих

данный четырехугольник

(рис. 2.3), запишем в виде

.

.

Заменим переменные по формулам

Образом является прямоугольник

(рис. 2.4).

Рис. 2.3

Рис. 2.4

. ■

Пример 2.2. Вычислить интеграл

, где – об-

ласть, заключенная между параболами

и гипербо-

лами

(рис. 2.5).

3

Рис. 2.5

□ Сделаем замену переменных:

.

Область отображается в область

, ограниченную прямыми

Пример 2.3. Вычислить интеграл

, где –

круг, ограниченный окружностью

.

□ Круг изображен на рис. 2.6, а.

а)

б)

Рис. 2.6

1

способ. Перейдем к полярным координатам

с полюсом в точке

. Наглядно видно, что в каче-

стве

пределов интегрирования для

можно взять промежуток

–

. Подставляя выражения

в

уравнение окружности

, получим

, откуда

или

. Поэтому (рис. 2.6, б)

–

.

точке

, а в точке

(центре круга), т.е. по формулам

,

то прообразом круга

окажется

Пример 2.4. Вычислить

, где

.

а)

б)

ле

(см. занятие 3). Так как левая часть уравнения

кривой неотрицательна при любых и

, то и правая часть должна

быть неотрицательна, а значит,

и

должны иметь одинаковые

знаки.

Следовательно, кривая

расположена в и

квадрантах,

точка

удовлетворяет уравнению кривой,

то и

тоже

удовлетворяет этому уравнению). Поэтому вся

фигура

состоит из

,

,

(2.6)

где

– некоторые числа, выбираемые в каждом конкрет-

.

(2.7)

В данном случае удобно взять

.

Тогда

уравнение

кривой примет вид

,

откуда

или

, причем

(

квадрант).

Кривые

и

на

плоскости

.

Искомая площадь фигуры равна

, т.е.

. ■

2. В аудитории

1. В двойном интеграле

перейти к полярным

координатам, расставить пределы интегрирования, где

– парабо-

лический сегмент

.

2.

Перейти к полярным координатам, расставить пределы интег-

рирования в том и другом порядке:

2.1.

;

2.2.

;

2.3.

, где область

ограничена кривой

.

3.

Поменять

порядок

интегрирования

.

4.

Перейдя к полярным координатам, заменить двойной инте-

грал однократным:

,

.

5.

Перейдя к полярным координатам, вычислить:

5.1.

, где

;

5.2.

;

6.

Перейти к новым переменным

в интеграле:

6.1.

, если

;

6.2.

, если

.

20