Радикальный признак Коши

u

Пусть все члены ряда

n

неотрицательны и

lim n u

n

q. Тогда

n

n 1

если q 1

то ряд un сходится, если

q 1,

то ряд un расходится,

n 1

n 1

Пусть q 1,

возьмем

: q 1. Для такого

N : n N

n un

q

или

q n un

q . Поскольку выполнено условие n un

q 1, то ряд un сходится

n 1

по предыдущей теореме (в допредельной форме).

Пусть теперь q 1,

возьмем :

q 1.

Для него

N : n N

n un

q

или

q n un

q .

Поскольку

выполнено

условие

n un q 1, то

ряд un

u

u

n

n

1 r,

то ряд un

сходится, если же для n n0

n

n

1 1,

то ряд un

un 1

n 1

un 1

n 1

un

1

Если существует lim n

r, то при r 1 ряд

un сходится, если же r 1, то ряд

n

un 1

n 1

un расходится.

n 1

Теорема (Признак Гаусса)

Если существуют числа , , 0 и ограниченная последовательность n ,

такие что, начиная

u

с некоторого номера n0

выполнено равенство

n

n

,

то при 1 ряд un

1

un 1

n

n

n 1

сходится, а при 1, он расходится, если же 1, то при 1

ряд un

сходится,

Пусть функция f (x) неотрицательна и не возрастает на 1; . Тогда ряд

f (n) и

n 1

несобственный интеграл f (x) dx сходятся и расходятся одновременно.

1

Рассм.

f (x)

на

сегменте k 1;k .

Поскольку

f (x)

не

возрастает

f (k) f (x) f (k 1) f (x) ограничена

и монотонна (по условию) на

k 1;k

k

k

k

интегрируема

на

нем.

Имеем

f (k) dx f (x) dx f (k 1) dx

или

k 1

k 1

k 1

k

f (k) f (x) dx f (k 1). Просуммируем это неравенство от k n 1

до k m :

k 1

m

m

m

m 1

f (k) f (x) dx f (k 1) f (k).

(4)

k n 1

n

k n 1

k n

.

Исследовать на сходимость ряд n e1/n e 1/n 2

n 1

Решение.

1/n

1/n

1

1

1

1

1

1

1

Имеем n e

e

2

n

1

o

1

o

2

.

n

2n

2

n

2

n

2n

2

n

2

n

3/2

Поскольку ряд n 1

1

сходится

3 / 2 1

, то по признаку сравнения исходный ряд

n3/2