Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1305 вузов, 5165 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Векторный и тензорный анализ
Файл:
Лекции / Доп. лекции / lecture_7.ppt
Скачиваний:
1
Добавлен:
17.05.2024
Размер:
1.48 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Формула Стокса

Пример 2. Вычислить

I ( y2 z2 )dx (x2 z2 )dy (x2 y2 )dz,

L

где L – кривая

x2 y2 z2 2Rx,x2 y2 2rx

(0<r<R, z>0), пробегаемая так, что ограниченная ею на внешней стороне сферы наименьшая область остается слева.

z

n

L S

2r

2R

x

n {x R, y, z}

Формула Стокса

x2 y2 z2 2Rx

 

 

(x R)2 y2 z2 R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2 2rx

 

(x r)2 y2 r2

y

I ads,

a {y2

z2 , x2 z2 , x2 y2}

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

i

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2{y z, z x, x y}

(| n | R)

 

x

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

y2 z2

x2 z2 x2

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(rot a, n)

2

( y

z)(x R) (z

x) y (x y)z

2(z

y)

(rot a)n

 

|

 

R

 

 

| n

 

 

 

 

 

I 2 (z y)dS

S

Формула Стокса

z

n

L S

2r

2R

x

Уравнение поверхности S:

(x R)2 y2 z2 R2 z R2 (x R)2 y2

yОбласть интегрирования Ω:

(x r)2 y2 r2

 

Элемент площади поверхности:

dS

1 zx2 z2y dxdy

Rdxdy

Rdxdy

R2 (x R)2 y2

 

 

z

I 2 (z

y)dS 2R

z

y

 

dxdy

y

 

dxdy 2R

dxdy

z

 

 

S

 

 

 

 

z

 

Формула Стокса

 

 

2

2

2

 

 

dxdy | | r

 

y

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

(x r)

 

y

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Область Ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 x 2r,

 

x

 

 

 

 

 

r2 (x r)2 y r2 (x r)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

ydxdy

 

 

 

 

 

2r

r2 ( x r)2

 

 

ydy

 

 

 

 

 

dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

R

2

(x R)

2

y

2

 

 

R

2

(x R)

2

y

2

z

 

 

 

 

 

 

0

r2 ( x r)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(нечетная функция)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxdy

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 0) 2 Rr2

 

 

I 2R

dxdy

2R( r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Стокса

Пример 3. Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, найти интеграл

 

(1,2,1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

(x2 2 yz)dx ( y2 2xz)dy (z2 2xy)dz

(0,0,1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{x

2

 

2 yz, y

2

 

2xz, z

2

 

2xy}

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{0, 0, 0}

 

x

 

 

 

y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 2 yz

y2 2xz

z2 2xy

 

Формула Стокса

 

 

x2

2 yz

(1)

 

 

(1)

 

 

( x, y, z)

 

x3

2xyz C( y, z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

2xz

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

(2)

 

 

2xz

 

 

y

2

2xz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

z2

2xy

(3)

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

C( y, z)

 

C(z)

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1),(2)

(x, y, z)

 

 

2xyz

 

 

 

C(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

 

2xy C '(z) z2

2xy

 

C '(z) z2

 

 

C(z)

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x, y, z) 13 (x3 y3 z3 ) 2xyz C

Формула Стокса

(x, y, z) 13 (x3 y3 z3 ) 2xyz C

(1,2,1)

I (x2 2 yz)dx ( y2 2xz)dy (z2 2xy)dz

(0,0,1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1, 2,1) (0,0,1)

 

10

4

 

 

 

1

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: I 1

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ

Математический анализ. Основные формулы векторного анализа.

Формулы Остроградского и Стокса. Лекция 7

завершена.

Спасибо за внимание!

Соседние файлы в папке Доп. лекции
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности