Формула Стокса
P0, z ,
S
P |
|
|
|||||
|
|
|
P |
, |
P D( y, z) |
, |
|
d S |
|
|
|
||||
0, |
z |
||||||
y |
|
|
|
y D(u,v) |
|
||
D(z, x) , D(x, y) dudv
D(u,v) D(u,v)
|
|
P D(z, x) |
P D(x, y) dudv |
|
|
|
|
|
|
z D(u, v) |
|
|
|
y D(u,v) |
Таким образом, |
|
P |
dzdx |
P |
dxdy |
|
||||||
|
|
|
|
Pdx |
|
|
||||||
|
|
|
|
L |
S z |
|
|
y |
|
|
|
|
совершая круговую подстановку переменных, получаем |
|
|||||||||||
Qdy |
|
Q dydz Q dxdy, |
Rdz |
|
R dydz R dzdx |
|||||||
|
|
z |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
||
L |
S |
|
|
|
L |
|
|
S |
y |
|||
Формула Стокса
Pdx
L
Qdy
L
Rdz
L
|
|
P |
dzdx |
P |
dxdy |
|
|
|
y |
||||
|
S |
z |
|
|
||
|
|
|
Q dydz Q dxdy |
|||
|
|
z |
x |
|||
|
S |
R |
dydz |
R |
dzdx |
|
|
|
x |
||||
|
S |
y |
|
|
||
Pdx Qdy Rdz |
|
R |
Q dydz P |
R dzdx Q |
P dxdy |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
z |
x |
|||||
L |
S |
z |
|
x |
|
y |
|||
Формула Стокса
Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути
открытое множество в пространстве
a(x, y) {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)}
(непрерывно дифференцируемое векторное поле в )
(1) Для любой замкнутой кривой L в Ω
ads 0
L
(2) Для любых кривых L1 и L2 в с общими началами и концами
ads ads
L1 L2
Формула Стокса
(3) Существует такая функция φ С1(Ω), для которой
|
|
|
, |
|
, |
|
a |
grad |
x |
y |
|
||
|
|
|
|
z |
(4) Существует такая функция φ С1(Ω), для которой
P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz d (x, y, z)
(5)Существует такая функция φ С1(Ω), что для любых точек A,B Ω и любой кривой L с началом в точке A и концом в
точке B |
|
|
ads (B) ( A) |
L
Формула Стокса
Доказательство по схеме
(1) (2) (3) (4) (5) (1)
(1) (2) |
B |
|
L1 L L1 L21
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
0 |
ads ads ads ads ads |
|||||
|
|
|
L |
L1 |
L21 |
|
L1 |
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ads |
ads |
|
|
L1 L2
Формула Стокса
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
(2) (3) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (x, y, z) |
|
(x, y, z) ads ads |
|
|
||
|
L |
|
|
L |
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 (x0 , y0 , z0 ) |
|
|
a grad |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(x x, y, z) (x, y, z) ads |
|||||
|
L M1 |
(x x, y, z) |
|
|
||||
|
M (x, y, z) |
|
|
|
L |
|||
|
|
|
x x |
|
||||
|
|
|
x |
|
||||
|
|
|
P(x, y, z)dx P(x, y, z) x |
|||||
z
x
Формула Стокса
x
(
(x,
x x, y, z) (x, y, z) |
|
|
|
x |
P(x, y, z) |
|
|
|
|
||
y, z) lim |
(x x, y, z) (x, y, z) |
|
|
x 0 |
x |
|
|
lim P(x, y, z) P(x, y, z)
x 0
Аналогично y (x, y, z) Q(x, y, z)
z (x, y, z) R(x, y, z)
Формула Стокса
|
(3) (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a grad |
|
P |
x |
, |
Q |
y |
, |
R |
z |
||||
P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz |
|
dx |
|
dy |
|
dz d (x, y, z) |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
z |
||
|
|
|
|
(4) (5) |
|
x x(t) |
|
|
B(x , y , z ) |
|
|
|
|||
1 1 1 |
|
y y(t) |
|
L |
|
|
|
|
|
|
z z(t) |
|
|
|
|
|
|
|
t |
A(x0 , y0 , z0 ) |
|
|
|
|
|
||
x( ) x0 , y( ) y0 , z( ) z0 x( ) x1, y( ) y1, z( ) z1
Формула Стокса
Pdx Qdy Rdz d |
|
P , Q |
, R |
||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
x |
|
y |
z |
F(t) (x(t), y(t), z(t)) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F '(t) |
x '(t) |
y '(t) |
z '(t) |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
y |
z |
|
|||
P(x(t), y(t), z(t))x '(t) Q(x(t), y(t), z(t)) y '(t) R(x(t), y(t), z(t))z '(t)
и по формуле вычисления криволинейного интеграла
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
Px ' Qy ' Rz ' |
dt |
|||
ads |
|
|
F '(t)dt F( ) F( ) |
|||
L |
|
|
|
|
|
|
(x( ), y( ), z( )) ( x( ), y( ), z( )) (B) ( A)
Формула Стокса
(5) (1)
Если кривая замкнута, то ее начало и конец совпадают, поэтому
ads (B) ( A) ( A) ( A) 0
L
(1)Функция φ(x,y,z), входящая в условия (3)-(5), определяется с точностью до произвольной постоянной.
(2)Векторное поле, удовлетворяющее этим условиям называется потенциальным.