Формула Остроградского
Пример 3. Найти объем тела, ограниченного тором
x (b a cos ) cos
y (b a cos )sin
z a sin
(0 2 , 0 2 )
|
1 |
|
1 |
|
|
|
V( ) |
|
|
|
(r, r r )d d |
||
3 |
rdS |
3 |
|
|||
|
|
0 2 |
|
|
||
0 2
Формула Остроградского
Касательные векторы:
r { (b a cos )sin ,(b a cos ) cos ,0}
r { a sin cos , a sin sin , a cos }
Нормаль:
n r r a(b a cos ){cos cos ,sin cos ,sin }
Скалярное произведение:
(r, r r ) (r, n) a(b a cos )(a bcos )
Объем:
|
1 |
|
|
|
a |
2 |
2 |
V( ) |
|
(r, r r )d d |
|
|
|
||
3 |
|
3 |
d |
(b a cos )(a bcos )d |
|||
|
0 2 |
|
|
0 |
0 |
||
0 2
Формула Остроградского
V( ) a |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
d |
(b a cos )(a bcos )d |
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ab (a2 |
b2 ) cos abcos2 )d |
||||||||||
|
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a 2 ab (a2 |
b2 ) cos ab (1 cos 2 ) d |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 a |
3 |
ab (a |
2 |
2 |
)sin |
ab |
|
|
2 |
|||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
sin 2 |
|
|
|||||
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 a 3 ab 2 2 2a2b |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: V( ) 2 2a2b
Формула Стокса
Джордж Габриель Стокс (13.08.1819 – 01.02.1903)
Формула Стокса
Определение ротора:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
R |
|
Q |
|
P |
|
R |
|
Q |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot P,Q, R |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
z |
z |
x |
x |
x |
|
y |
|
z |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
Q |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Стокса |
|
|
|
|
|
a |
ads (rot a)d S |
|
L |
L |
S |
|
|
|
|
|
Ориентации L и S должны быть согласованы!
Формула Стокса
Согласованность ориентаций
L
a
Определение. Ориентации поверхности S и его края L согласованы, если при движении вектора нормали по краю поверхности в выбранном направлении точки выбранной стороны остаются слева.
Формула Стокса
v |
z |
|
x Ω y
z
u
Граница области Ω
u u(t)
v v(t)( t )
x(u, v) |
S |
y(u,v) |
|
z(u, v) |
|
y
x
Край поверхности S
x x(u(t), v(t))y y(u(t), v(t))
z z(u(t), v(t))
Формула Стокса
|
|
|
|
|
P |
dzdx |
P |
dxdy |
|
|
a {P,0,0} |
Pdx |
|
|
|||||
|
|
|
L |
S |
z |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый шаг: сводим интеграл по краю поверхности к интегралу по границе области параметров
|
|
|
Pdx (Pxu )du (Pxv )dv |
|
|
||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Pdx |
P(xuu ' xvv ')dt |
( x x(u(t),v(t)) ) |
|
|
|||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Pxu )du (Pxv )dv |
(Pxu )u ' (Pxvv ') dt |
( u u(t), v v(t) ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Стокса
Второй шаг: используя формулу Грина сводим интеграл по границе области параметров к интегралу по самой области.
(Px )du (Px )dv |
|
|
|
|
(Px ) |
|
|
(Px ) dudv |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
(Px |
) |
|
|
|
(Px ) |
P x |
|
Px |
|
|
|
|
P x Px |
|
|||||||||||||||
|
u |
|
v |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
u |
|
|
u |
v |
|
|
|
vu |
|
|
v u |
|
uv |
|
|||||||||
|
P |
x |
|
|
P |
x |
|
P |
x |
P |
y |
|
|
|
P |
z |
|
x |
|
|||||||||||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
u |
|
|
|
v |
|
u |
|
x |
|
u |
|
y |
|
|
|
|
z |
u |
|
v |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
P |
xv |
P |
yv |
P |
|
|
|
|
P |
zu xv zv xu |
|
|||||||||||||||||||
|
x |
y |
z |
|
zv xu |
z |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
P |
xu yv yu xv P D(z, x) |
|
|
P D(x, y) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z D(u, v) |
|
|
|
y D(u, v) |
|
||||||||||||||
Формула Стокса
|
Pdx |
|
P D(z, x) |
P D(x, y) dudv |
|
|
|
|
|
|
|
|
z D(u, v) |
|
|
L |
|
y D(u,v) |
|
|
|
|
|
|
Третий шаг: вычисляем поверхностный интеграл. |
|
||||||
|
P dzdx P dxdy |
0, P |
|
||||
|
, P d S |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S z |
y |
|
z |
|
|
|
|
S |
y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n ru rv {xu , yu , zu} {xv , yv , zv }{yu zv yv zu , zu xv zv xu , xu yv xv yu }
D( y, z) |
, |
D(z, x) |
, |
D(x, y) |
|
D(u, v) |
|
||
D(u, v) |
|
|
D(u, v) |