Формула Грина
|
|
|
|
S 2 1 |
|
|
4 |
ydx xdy |
|
[ y( )x '( ) x( ) y '( )]d |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
cos 2 cos |
|
x '( ) |
|
x a |
|
|
|
|
cos 2 sin |
|
|
y a |
|
|
|
|
|
|
y '( ) |
|
|
|
|
|
a(sin 2 cos cos 2 sin ) |
a sin 3 |
||||
cos 2 |
||||||
|
cos 2 |
|
|
|||
a(cos 2 cos sin 2 sin ) |
|
a cos3 |
|
|||
cos 2 |
||||||
|
cos 2 |
|
||||
y( )x '( ) x( ) y '( ) a2 sin sin 3 a2 cos cos 3 a2 cos 2
|
|
4 |
sin 2 |
S a2 cos 2 d a2 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
a |
2 |
4 |
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
Формула Грина
Пример 5. Вычислить интеграл
(3;0) |
|
|
|
|
|
|
I |
(x4 4xy3 )dx (6x2 y2 5y4 )dy |
|||||
( 2; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P x4 4xy3, Q 6x2 y2 5y4 |
|
|
||||
P |
|
Q 12xy2 |
|
|
|
|
12xy2 , |
|
P |
Q |
|
||
y |
|
x |
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем функцию φ, градиент которой равен {P,Q}. Для этого достаточно решить систему уравнений
P, Qx y
Формула Грина
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
+4xy |
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
y |
6x |
y |
|
|
5y |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x4 +4xy3 |
x5 |
|
|
2x2 y3 C( y) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x2 y2 5y4 |
6x2 y2 C '( y) 6x2 y2 5y4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C '( y) 5y4 C( y) y5 C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
2x2 y3 y5 C |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Грина
|
|
|
|
|
|
x5 |
2x2 y3 |
y5 |
C |
|
|
||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3;0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
Pdx Qdy (3,0) ( 2, 1) |
|
||||||||||
|
( 2; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
35 |
|
|
|
25 |
|
|
243 |
|
32 |
7 |
|
|
5 |
|
5 |
8 1 |
5 |
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
275 7 55 7 62 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: I 62
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Математический анализ. Основные формулы векторного анализа.
Формула Грина. Лекция 6 завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции: Основные формулы векторного анализа.
Формул Остроградского и Стокса. Лекция состоится в четверг 23 октября в 14:30 по Московскому времени.