Формула Грина
(5) (1)
Если кривая замкнута, то ее начало и конец совпадают, поэтому
ads (B) ( A) ( A) ( A) 0
L
(1)Функция φ(x,y), входящая в условия (3)-(5), определяется с точностью до произвольной постоянной.
(2)Векторное поле, удовлетворяющее этим условиям называется потенциальным.
Формула Грина
Условие на координаты векторного поля для его потенциальности
(1)Необходимое условие потенциальности: если непрерывно дифференцируемое векторное поле
a {P,Q}
является потенциальным, то
P Qy x
P |
, Q |
|
P |
|
2 |
, |
Q |
|
2 |
|
P |
Q |
|
y |
y x |
x |
x y |
y |
|||||||||
x |
y |
|
|
|
|
|
x |
Формула Грина
Определение: область D называется односвязной если для любой замкнутой кривой L, целиком лежащей в области D, область Ω, ограниченная кривой L, также целиком лежит в области D.
не односвязная область |
|
односвязная область |
|
|
|
Формула Грина
(2) Достаточное условие потенциальности: если непрерывно дифференцируемое векторное поле
a{P,Q}
водносвязной области удовлетворяет условию
P Qy x
то оно потенциально
Формула Грина
Для доказательства проверим первое условие потенциальности поля. Пусть L - замкнутая кривая, а Ω - область, которую она ограничивает, тогда по формуле Грина
|
|
Q |
|
P |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
dxdy 0 |
|
ads |
Pdx Qdy |
|
|
|||
L |
|
L |
|
x |
|
y |
Если область в которой задано поле не односвязно, то условие
P Qy x
не достаточно для потенциальности поля.
Формула Грина
Контрпример. |
|
|
|
|
|
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
L |
x2 |
y2 |
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
, |
|
|
x |
|
|
x cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
x |
2 |
y |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
y sin t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 t 2 ) |
ads Pdx Qdy
L L
2 |
|
|
sin t |
|
cos t |
|
|
|
1 |
( sin t) |
1 |
(cos t) dt |
|
0 |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
(sin2 t cos2 t)dt |
dt 2 0 |
|||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
Формула Грина
Пример 1. Вычислить |
I |
|
x |
2 |
ydx xy |
2 |
dy |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x2 |
y2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x r cos
y r sin
|
|
|
|
|
|
Q |
|
P |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
||
|
|
Pdx Qdy |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
x |
|
y |
|||||
a |
|
|
P x2 y, |
|
Q xy2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Q |
|
P |
x2 y2 |
I |
|
x2 |
y2 dxdy |
|||||
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rdr (2 ) a4 |
|
|
a4 |
|
|
||||||
I d r2 |
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Формула Грина
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
y |
|
|
x2 |
|
y2 |
|
1 |
|
|
||
|
|
a |
2 |
b |
2 |
|
|
|
|||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a cos t |
|
||||||
|
|
x |
|
x ' a sin t |
|||||||
|
|
|
|
bsin t |
|||||||
|
a |
|
y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 ) |
y ' bcos t |
||
|
|
|
|
|
(0 |
|
|
||||
S |
1 |
ydx xdy |
|
1 |
2 [( bsin t)( a sin t) (a cost)(bcos t)]dt |
|||||
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
ab |
2 |
|
|
|
ab |
2 |
|
|
|
|
(sin2 t cos2 t)dt |
dt ab |
||||||
|
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
Формула Грина
Пример 3. Вдоль эллипса Lx2 |
|
y2 |
1 |
|
|
a2 |
b2 |
||
|
|
|
||
(в положительном направлении) вычислить интеграл
y |
I (x y)dx (x y)dy |
|
|
|
|
|||
b |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
P |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|
x |
Pdx Qdy |
|
|
|
|
||
L |
|
x |
|
|
y |
|||
L |
a |
|
Q |
P |
|
|||
P x y, Q (x y), |
1 1 2 |
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
I ( 2)dxdy 2 dxdy 2S( ) |
2 ab |
|||||||
|
|
Формула Грина
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой
x2 y2 2 a2 x2 y2
x r cos |
|
r4 a2r2 cos2 |
|
|
|||
y r sin |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
4 |
|
x
4
sin2 r a cos 2
x a |
cos 2 cos |
||||
y a |
cos 2 sin |
||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
||
|
|
|
|
||