Формула Грина |
|
L |
n |
|
|
|
L |
n {n1 , n2} внешняя нормаль
{ n2 , n1} ориентирует L положительно (область при обходе вдоль L остается слева)
Формула Грина
|
|
a |
|
|
L |
|
|
|
a {P,Q} |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b { Q, P} |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n {n1 , n2} |
|
внешняя единичная нормаль |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ n2 , n1} |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Qn2 |
|
|
|
|
|
|
ds |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ands |
|
Pn1 |
ds |
( Q)( n2 ) Pn1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
L |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b ds |
|
|
Qdx Pdy P |
( Q) dxdy |
P |
Q dxdy |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
x |
y |
|
||||
L |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение: |
|
div(a) |
x |
y |
|
|
(дивергенция) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Грина
a L 
Формула Остроградского
ands div(a)dxdy
L
Формула Грина
Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути
открытое множество на плоскости
a(x, y) {P(x, y),Q(x, y)} непрерывно дифференцируемое векторное поле в
(1) Для любой замкнутой кривой L в Ω
ads 0
L
(2) Для любых кривых L1 и L2 в с общими началами и концами
ads ads
L1 L2
Формула Грина
(3) Существует такая функция φ С1(Ω), для которой
|
|
|
, |
|
a |
grad |
x |
|
|
|
|
|
y |
(4) Существует такая функция φ С1(Ω), для которой
P(x, y)dx Q(x, y)dy d (x, y)
(5) Существует такая функция φ С1(Ω), что для любых точек A,B Ω и любой кривой L с началом в точке A и концом в точке B
ads (B) ( A)
L
Формула Грина
Доказательство по схеме
(1) (2) (3) (4) (5) (1)
(1) (2) |
B |
|
L1 L L1 L21
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
0 |
ads ads ads ads ads |
|||||
|
|
|
L |
L1 |
L21 |
|
L1 |
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ads |
ads |
|
|
L1 L2
Формула Грина
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
(2) (3) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (x, y) |
(x, y) ads ads |
|
|
|
|
L |
|
L |
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 (x0 , y0 ) |
|
a grad |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
(x x, y) (x, y) ads |
||||
|
|
|
L |
||||
|
L |
M1(x x, y) |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
M (x, y) |
x x |
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
P(x, y)dx P(x, y) x |
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
Формула Грина
|
|
(x, y) lim |
|
x |
x 0 |
y |
M1 |
(x, y y) |
|
L
M (x, y)
x
y (x, y)
|
|
|
|
x |
P(x, y) |
||
|
|
|
|
(x x, y) (x, y) |
lim |
|
|
x |
|
P( x, y) P(x, y) |
|
|
x 0 |
|
|
(x, y y) (x, y) ads
|
|
|
L |
y y |
|
|
|
Q(x, y)dy Q(x, y) y |
|
y |
|
(x, y y) (x, y) Q(x, y)
y
(x, y y) (x, y) Q(x, y)
y
Формула Грина
(3) (4)
|
|
|
|
|
|
|
a grad |
|
P |
x |
, |
Q |
y |
P(x, y)dx Q(x, y)dy x dx y dy d (x, y)
(4) (5) |
B(x1, y1 ) |
|
|
|
x x(t) |
x( ) x0 , y( ) y0 |
|
|
|||
L |
|
|
|
y y(t) |
x( ) x1, y( ) y1 |
||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
A(x0 , y0 )
Пусть
тогда
Формула Грина
Pdx Qdy d |
|
P |
, Q |
|
|
x |
y |
F(t) (x(t), y(t))
F'(t) x x '(t) y y '(t) P(x(t), y(t))x '(t) Q( x(t), y(t)) y '(t)
ипо формуле вычисления криволинейного интеграла
ads P(x(t), y(t))x '(t) Q(x(t), y(t)) y '(t) dt
F '(t)dt F( ) F( )
(x( ), y( )) (x( ), y( )) (B) ( A)