Формула Грина
y
y (x)
|
y (x) |
|
x |
a |
b |
|
b |
P(x, y)dx [P(t, (t)) P(t, (t))]dt |
|
|
a |
Формула Грина
y
y (x)
y (x)
x a b
P(x, y)
y dxdy
b
dx(P(x, (x)) P(x,
b |
( x) |
P(x, y) dy |
dx |
||
a |
( x) |
y |
b
(x))) [P(t, (t)) P(t, (t))]dt
a |
a |
Формула Грина
d |
y |
|
L3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Qdy Qdy |
Qdy |
||
|
|
|
|
|
|
L1 |
L2 |
|
|
L4 |
|
L |
Qdy Qdy |
||
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
L3 |
L4 |
|
L1 |
x |
|
|
|
Вдоль кривых L1 и L3 y=const, |
|
поэтому dy = 0 и интегралы |
|
равны нулю. |
Qdy Qdy Qdy
|
L2 |
L4 |
Формула Грина
y |
Параметрическое уравнение L2 : |
|
d |
||
x f (t), |
||
L2 |
||
|
||
c |
y t, |
|
|
||
x |
c t d |
d
Q(x, y)dy Q( f (t),t)dt
L1 |
c |
Формула Грина
y
d 
L4
c 
Q(x, y)dy
L4
|
Параметрическое уравнение L4 : |
|
x g(t), |
|
|
|
y t, |
x |
|
d t c |
c |
d |
Q(g(t),t)dt Q(g(t),t)dt
d |
c |
Формула Грина
y
d x g( y) |
|
x f ( y) |
|
|
|
|
|
c 
x
|
d |
Q(x, y)dy [Q( f (t),t) Q(g(t),t)]dt |
|
|
c |
Формула Грина
y
d x g( y) |
|
x f ( y) |
|
|
|
|
|
c 
x
|
Q(x, y) |
d |
f ( y) |
Q(x, y) |
dx |
|
|
x |
dxdy dy |
x |
|||
|
|
c |
g ( y ) |
|
||
b |
|
|
|
b |
|
|
dy(Q( f ( y), y) Q(g( y), y)) [Q( f (t), t)
Q(g(t), t)]dt
a |
a |
Формула Грина |
|
|||
|
|
Q |
|
P |
|
|
|
dxdy |
|
Pdx Qdy |
|
|
||
|
|
x |
|
y |
P 0, |
Q x |
|
xdy dxdy S( ) |
||
|
|
|
|
|
|
P y, |
Q 0 |
|
ydx dxdy S( ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
S( ) xdy |
ydx |
1 |
ydx xdy |
||
|
|
|
|
|
|
Формула Грина
a {P,Q} |
a |
|
|
L |
|
||
|
|
||
|
|
|
a | a | cos
A Pdx Qdy ads a ds
L L L
(A – работа сил векторного поля вдоль кривой)
Формула Грина
a {P,Q} |
n a |
L
an | a | cos
ands
L
(Ф – поток векторного поля через кривую L)