Поверхностный интеграл 2 рода
z (x, y)
S
R(x, y, z)dxdy R(x, y, (x, y))dxdy
S |
|
Знак плюс берется для согласованных ориентаций (проекция нормали на ось Oz положительна) и минус иначе (проекция нормали на ось Oz отрицательна).
Поверхностный интеграл 2 рода
x ( y, z)
S
M ( y, z)
P(x, y, z)dydz P( ( y, z), y, z)dydz
S |
|
Знак плюс берется для согласованных ориентаций (проекция нормали на ось Ox положительна) и минус иначе (проекция нормали на ось Ox отрицательна).
Поверхностный интеграл 2 рода
y (z, x)
S
M (z, x)
Q(x, y, z)dzdx P(x, (z, x), z)dzdx
S |
|
Знак плюс берется для согласованных ориентаций (проекция нормали на ось Oy положительна) и минус иначе (проекция нормали на ось Oy отрицательна).
Поверхностный интеграл 2 рода
Пример. Вычислить
xdydz ydzdx zdxdy,
S
где S – внешняя сторона сферы x2+y2+z2=a2 (a>0). Рассматриваемый интеграл представляет собой интеграл
второго рода от векторного поля
a {x, y, z}.
Внешняя нормаль к сфере направлена по ее радиусу
n {x, y, z}, (| n | a),
Поэтому нормальная компонента векторного поля
|
|
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|
a |
2 |
|
an (a, n) |
|
|
|
|
|
|
a |
||||
|
|
a |
|
|
a |
||||||
| n | |
|
|
|
|
|
|
|
||||
xdydz ydzdx zdxdy andS a dS a | S | a 4 a2 4 a3
S S S
Поверхностный интеграл 2 рода
Пример. Вычислить
|
dydz |
dzdx |
dxdy |
, |
|
||||||||
|
S |
x |
|
|
|
|
y |
z |
|
|
|||
где S – внешняя сторона эллипсоида |
|
|
|||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
z2 |
1. |
|
|
|
|
z |
|
a2 |
|
b2 |
|
c2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
x a cos cos |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y bcos sin |
|
|||||
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z csin |
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 , 2 |
|
2 |
|||||
z '
a
a 
x '
z
c
a
x
Поверхностный интеграл 2 рода
|
x ' a cos cos |
0 2 , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
y ' a cos sin |
|
|
||
|
|
2 |
2 |
||
y ' |
z ' a sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
' |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y |
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
z ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a cos cos |
|
|
|
|
|
|
|||||||
b |
|
|
|
0 2 , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y bcos sin |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||
|
|
|
z csin |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Поверхностный интеграл 2 рода
|
|
|
|
|
dydz |
|
|
dzdx |
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|||||||||||
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
adS |
, |
a |
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
y |
z |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x a cos cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y bcos sin |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z csin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
r |
{ a cos sin ,bcos cos ,0} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
{ a sin cos |
, bsin sin , c cos } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
cos ,ac cos |
2 |
sin , absin cos } |
(внешняя) |
|||||||||||||||||||||
n |
r r |
{bc cos |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
1 |
|
|
, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
bcos sin |
csin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a cos cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
bc cos |
|
ac cos |
|
abcos |
bc |
|
ac |
|
ab |
|
cos |
|
|
|||||||||||||||||||
(a, r r ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
c |
|
|
a |
|
b |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Поверхностный интеграл 2 рода
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(a |
, r |
r )d d |
|
(a, r |
r )d d |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
bc |
|
ac |
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bc |
|
|
ac |
|
ab |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a |
b |
|
c 0 2 |
cos d d |
|
a |
b |
c |
|
d |
cos d |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
bc |
|
ac |
|
ab |
(2 ) 2 4 |
bc |
|
ac |
|
ab |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
c |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ответ: |
I 4 |
bc |
|
ac |
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поверхностный интеграл 2 рода
Пример. Вычислить
( y |
z)dydz (z |
x)dzdx (x y)dxdy, |
S |
|
|
где S – сторона конической поверхности x2+y2=z2 (0 ≤ z ≤ h) с нормалью, имеющей отрицательную проекция на ось Oz.
z
a {y z, z x, x y}
|
y |
Разобьем интеграл на три: |
|
x |
I ( y z)dydz (z x)dzdx (x |
y)dxdy |
|
|
|||
S S S
Поверхностный интеграл 2 рода
x
S1
z
y 
S2
z h z |
|
|
z y |
|
z y |
|
|
y |
I1 ( y z)dydz ( y
I1 ( y z)dydz
S
Конус x2+y2=z2 пересекает плоскость x=0 по прямым z=y, z=-y. Поверхность S проектируется в треугольник Ω и распадается на две поверхности S1 и S2.
S1 - это часть поверхности S, лежащая над плоскостью yOz, а S2 - является
частью поверхности S, лежащей под этой плоскостью.
Заданная нормаль к поверхности S1
имеет положительную проекцию на ось Ox, а к S2 отрицательную.
z)dydz ( y z)dydz ( y z)dydz 0
S1 |
S2 |
|
|