Поверхностный интеграл 1 рода
Элемент площади поверхности: |
|
|
|
|
|
|
||||||
(x, y) a2 x2 y2 , |
|
|
|
x |
, |
|
|
|
y |
|||
x |
|
a2 x2 y2 |
y |
a2 |
x2 y2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
adxdy |
|
||||
dS 1 |
|
|
|
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 x2 y2 |
|
||||||||||
|
x |
|
y |
|
|
|
||||||
Искомый интеграл
I (x y z)dS |
(x y a2 x2 y2 ) |
|
adxdy |
|
|
|
|||
a |
2 |
x |
2 |
|
y |
2 |
|||
S |
x2 y2 a2 |
|
|
|
|
||||
Поверхностный интеграл 1 рода
a |
|
|
|
|
|
|
xdxdy |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydxdy |
|
|
|
a |
|
|
dxdy. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x2 y2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 a2 |
|
|
|
|
|
|
x2 y2 a2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
Далее вычисляем каждый из интегралов отдельно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переходя в полярные координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
r cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y r sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xdxdy |
|
|
|
|
|
|
2 |
a |
|
|
r cos |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
r2dr |
|
|
|
|
|
||||||||||||
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
2 |
|
rdr cos d |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||
|
a |
2 |
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
a |
2 |
r |
a |
2 |
r |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 y2 a2 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ydxdy |
|
|
|
|
|
|
2 |
a |
|
|
r sin |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
a |
r2dr |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
2 |
rdr sin d |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||
|
a |
2 |
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
a |
2 |
r |
a |
2 |
r |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 y2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I a |
3 |
|
|
|||||||||||||||
(3) |
dxdy d rdr 2 |
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 y2 a2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Поверхностный интеграл 1 рода
Пример. Вычислить |
|
I (x2 |
y2 )dS, |
|
||
|
|
|
S |
|
|
|
где S – граница тела |
x2 y2 |
z 1. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
z z 1 |
|
|
|
S S1 |
S2 |
|
|
|
|
S1 – боковая поверхность конуса |
||
|
|
|
|
|
||
|
z |
x2 y2 |
|
S2 – основание конуса |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
y |
|
|
|
1 |
1 |
|
I (x2 y2 )dS (x2 y2 )dS |
|||
{(x, y) : x2 y2 1} |
S |
S |
||||
x |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Поверхностный интеграл 1 рода
Поверхность S1 является графиком функции |
z |
x2 y2 . |
||||||||||||||
dS 1 zx2 z2y dxdy |
1 |
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
y |
|
|
|
2 |
dxdy 2dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
x |
y |
2 |
|
x |
y |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z 1 |
z S2 |
I1 (x2 y2 )dS |
2 (x2 y2 )dxdy |
|||
S1 |
|
|
|
|||
S1 |
z |
x2 y2 |
I2 (x2 y2 )dS (x2 y2 )dxdy |
|||
|
|
y |
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
{(x, y) : x2 y2 1} |
|
I ( 2 1) |
(x2 y2 )dxdy |
|
||
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x2 y2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поверхностный интеграл 1 рода
I ( |
2 1) |
(x2 y2 )dxdy |
|
|
x2 y2 1 |
|
|
|
Полученный интеграл вычисляем в полярных координатах
|
2 |
1 |
2 1) (2 ) 1 |
( 2 1) |
I ( |
2 1) d r3dr ( |
|||
|
0 |
0 |
4 |
2 |
Ответ: |
I ( |
2 1) |
|
|
|
|
2 |
|
|
Поверхностный интеграл 2 рода
v
Ω
u
x x(u, v)
y y(u, v)z z(u,v)
(u, v)
z
S
y
|
|
x |
, |
y |
, |
z |
|
, |
r |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
u |
|
u |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|||
|
x |
, |
y |
, |
z |
, |
x |
|
rv |
|
v |
v |
|
||||
|
|
|
|
v |
|
|
||
Первая ориентация |
Вторая ориентация |
n1 ru rv |
n2 rv ru |
Первая ориентация поверхности считается согласованной с положительной ориентацией плоскости uOv, а вторая – с отрицательной.
Поверхностный интеграл 2 рода
Лист Мебиуса
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – ученик «короля» математиков Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века.
В возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса (или лента). Мёбиус придумал ленту, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.
Для изготовления листа Мёбиуса нужно взять бумажную полоску – длинный узкий прямоугольник АВСD (удобные размеры: длина 30 см, ширина 3 см). Перекрутив один конец полоски на 180º, склейте из нее кольцо (точки А и С, В и D).
Поверхностный интеграл 2 рода
Лист Мебиуса
Журнал
“Квант”
Эмблема мехмата МГУ (http://www.math.msu.ru/)
Поверхностный интеграл 2 рода
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его. Эшер посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мебиуса II, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.
Поверхностный интеграл 2 рода
Прага