Примеры
Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода:
(x2 |
y 2 )dx (x2 y 2)dy, C : y 1 |1 x |, 0 x 2. |
|
|
C |
|
Решение: Рассмотрим кривую С, разобьем ее на 2 участка, представим их параметрически:
C C1 |
C2,C1 : y x, x [0,1],C2 : y 2 x, x [1,2] |
|||
I1 (x2 y 2 )dx (x2 y 2 )dy |
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
(x2 x2 )dx (x2 x2)dx 2 x3 |
|
|
2 |
|
0 |
3 |
|
0 |
3 |
|
||||
Примеры
Продолжение примера 3. Рассмотрим второй участок кривой С
C2 : y 2 x, |
x [1, 2]. |
I2 (x2 y2 )dx (x2
C1
2
x2 (2 x)2 dx x2
1
2
(8 8x 2x2 )dx 8
1
I I1 I2 43 .
y2 )dy
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(2 x)2 ( 1)dx 2(2 x)2 dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4x2 |
|
2 |
|
2 x3 |
|
2 |
14 |
|
2 . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
8 12 |
|
||||
|
|
1 |
|
3 |
|
1 |
3 |
|
3 |
Ответ: 4/3
Формула Грина
Теорема (формула Грина)
Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывно дифференцируемы в области D. Пусть область G целиком лежит в D.
Тогда справедлива формула Грина:
|
|
Q |
|
||
P(x, y) dx Q(x, y) dy |
|
x |
G |
G |
|
P dxdy.
y
Интеграл левой части берётся по границе области G в положительном направлении (т.е. при таком направлении обхода, при котором область всё время остаётся слева).
Замечание. Данная теорема очень полезна, поскольку связывает объекты разной природы – криволинейный интеграл по замкнутому контуру и двойной интеграл по области. Таких взаимосвязей в математике довольно много и все они чрезвычайно полезны, так как позволяют выбирать, каким из равных выражений удобнее воспользоваться в каждом конкретном случае.
Формула Грина
Пример. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
xdx ydy,
L
где L -- произвольная гладкая замкнутая кривая.
Решение. Пусть G – область, ограниченная кривой L
L G.
Воспользуемся формулой Грина:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||||
xdx ydy |
|
x |
y |
x dxdy |
0 dxdy 0. |
||
L |
G |
|
|
G |
|
||
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Математический анализ. Лекция 4
завершена.
Спасибо за внимание!