Криволинейные интегралы
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl x |
2 |
(t) y |
2 |
(t) dt, |
||
dx x (t)dt, |
dy y (t)dt, |
|
|
|||||
для вычисления криволинейных интегралов первого и второго рода получаем следующие представления через определенный интеграл:
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
f (x, y)dl f (x(t), y(t)) |
x 2 y 2 dt. |
|||||
|
|
L |
|
a |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
Q(x, y) dy |
b |
||
|
|
|
|
|
|
|||
P(x, y) dx P(x(t), y(t)) x |
(t) dt, |
Q(x(t), y(t)) y (t) dt, |
||||||
L |
a |
|
|
|
L |
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P(x, y) dx |
Q(x, y) dy P(x(t), y(t))x (t) Q(x(t), y(t)) y (t) dt. |
||||||
L |
a |
Криволинейные интегралы
Криволинейный интеграл первого рода можно интерпретировать как массу кривой с переменной плотностью, которая задается функцией f(x,y).
А криволинейный интеграл второго рода – как работу силы
F(x, y) P(x, y), Q(x, y)
по перемещению единичной массы вдоль кривой L.
Утверждение 1. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления обхода контура.
Утверждение 2. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от выбранной параметризации кривой.
Криволинейные интегралы
Утверждение 3. (Свойство линейности)
f (x, y) g(x, y) dl f (x, y) dl g(x, y) dl, |
, R. |
||
|
|
|
|
L |
L |
L |
|
Утверждение 4. |
(Свойство аддитивности) |
|
|
Пусть кривая L состоит из двух частей: L=C+M. Тогда |
|
||
f (x, y) dl f (x, y) dl f (x, y) dl. |
|
||
L |
C |
M |
|
Утверждение 5. |
(Сохранение неравенств) |
|
|
Пусть в каждой точке кривой L выполнено неравенство
f (x, y) g(x, y).
Тогда такое же неравенство выполнено и для интегралов
f (x, y) dl g(x, y) dl.
L L
Криволинейные интегралы
Замечание. Аналогично определяются и вычисляются криволинейный интеграл первого и второго рода для случая 3-мерного пространства.
К примеру, для параметрически заданной кривой
|
x x(t) |
|
L : |
|
t [a, b], |
y y(t) |
||
|
|
|
|
z z(t) |
|
криволинейный интеграл первого рода вычисляется по формуле
b
f (x, y, z)dl f (x(t), y(t), z(t))
x 2 y 2 z 2 dt,
L |
a |
а общий криволинейный интеграл второго рода – по формуле
b
P dx Q dy R dz P x (t) Q y (t) R z (t) dt.
L |
a |
Криволинейные интегралы
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода
(x2 y 2 z2 )dl
C
где С – часть винтовой линии
x a cost, y a sint, z bt, 0 t 2 .
Решение. Поскольку кривая уже задана параметрически, то нам надо только вычислить дифференциал дуги и подставить в формулу:
Криволинейные интегралы
Продолжение примера 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 y 2 z2)dl (x 2 y 2 z2) |
|
x 2 y 2 z 2dt |
||||||||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((a cost)2 |
(a sint)2 (bt)2) |
( a sint)2 |
(a cost)2 (b)2dt |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
8 |
|
2 |
3 |
|
(a |
|
) |
a |
dt |
a |
b |
(2 a |
|
|
) |
||||||||||||||
|
b t |
|
|
b |
|
|
|
|
3 |
b |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
2 |
|
|
|
4 3b2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a2 b2 (3a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Криволинейные интегралы
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл первого рода
y dl
C
где С – дуга лемнискаты
x2 y 2 2 a2 x2 y 2 .
Решение. Поскольку кривая не задана параметрически, то необходимо ввести параметр. Воспользуемся полярной системой координат
x r cos ,y r sin .
Криволинейные интегралы
Продолжение примера 2. Подставим замену переменных в уравнение кривой, найдем зависимость радиуса от угла и определим области изменения параметра.
r 4 a2r 2 (cos )2 (sin )2 |
|
r 2 a2 cos(2 ) |
|||||||
cos(2 ) 0 при [ |
4 |
, |
4 |
] [3 |
4 |
,5 |
4 |
] |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Кривая симметрична относительно оси Ox и оси Oy, раскроем модуль, тогда исходный интеграл равен
4
y dl 4 y r 2 r 2d
C |
0 |
|
|
|
|
|
x r cos , |
|
|
|
cos2 cos , |
|
r a cos2 |
x a |
|||
|
|
|
y a |
cos2 sin . |
|
|
y r sin , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Криволинейные интегралы
Продолжение примера 2.
4
y dl 4 ydl
C |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y a |
|
sin , |
|
|
|
|
|
|
|||||
cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dl r2 ( ) r 2 ( ) d |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a2 cos 2 |
a2 sin2 |
2 |
d a |
|
d |
|
. |
||||||
cos 2 |
|
|
|
||||||||||
cos 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Криволинейные интегралы
Продолжение примера 2.
4 |
|
4 |
|
|
|
|
a |
|
I 4 y |
r 2 r 2d 4 a |
cos(2 ) sin |
|
d |
||||
|
cos(2 ) |
|||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4a2 |
sin d 4a2(1 |
|
) 2a2(2 2) |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ:
I 2a2 (2 2)